Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
ОО
и по импульсам
- оо оо
- оо
соответственно:
(x-Xf
е 2Л*:
,2
(р-р)2
е 2Л^2
где для свободного движения
а для осцилляторов
Др2 = Др>д cos2 uit + m2uj2AxQ sin2 uit.
11.25] §11. Канонические преобразования 305
11.25. а) {а*, а} = -г, Щ = иа*а.
б) Переменные Р и Q канонические, поскольку {Р, Q} = 1. Из равенства dF =
р(х, Q) dx - Р(х, Q) dQ определяется производящая функция
F(x, Q, t) = ^тих2 + ^Q2e~2lult - iV2muxQe~lult.
Новая функция Гамильтона
,, , dF(x, Q, t)
P'(Q, Р) = Я0 + У ' = 0.
в) Выделив в
4
х4 =
Qe iujt _ 1регыЬ
ти
слагаемое -3Q2P2/2т2и2, не содержащее времени, получаем усредненную
функцию Гамильтона
Р)) = -~?LQlp2. 8тосР
В дальнейшем скобки (), обозначающие усреднение, опускаем. Очевидно, что
-iQP = \Qo\2 = М2 - интеграл движения. Уравнения Гамильтона
3/3|<Эо|2
Q = -ieQ, Р = геР, е =
откуда
4 ти2
Q = Q0e~i?t, P = iQ*0ei?t,
1 (Qoe ш * + QoeluJ l) = xo cos(ut + ip).
\j2mu
Влияние добавки SU сводится к изменению частоты
, , 3/3|Q0|2 , 3/5a?g
LO - LO + - 7Г - W H 5
4mur
(ср. с задачей 8.1).
306 Ответы и решения [11.26
г) Новая функция Гамильтона
H'(Q, Р, t) = т uj а
2 2 I Qe~icJt - iPeicJt \ eii0Jt + e~4l0Jt
\/2ти) J 2
после усреднения сводится к
(H'(Q, Р)) = |(Q4 + P4).
Для переменной ? = -iQP = \а\2, пропорциональной квадрату амплитуды
колебании, уравнение движения
? = {(H,)^} = -f(P4-Q4).
Учитывая, что
находим
^(Q4 + Р4) = А = const,
?2 = -4 А2 + а2^4.
Таким образом, ? изменяется так же, как координата частицы (с массой,
2
равной единице) в поле У (?) = - ПРИ энергии -2А2 (ср. с задачей 1.2).
Амплитуда за конечное время возрастает до бесконечной величины (так
называемый взрывной рост амплитуды).
Разумеется, использование усредненной функции Гамильтона справедливо
только при ? <С сд?, т. е. при ? <С и/а.
11.26. Вводим новые переменные:
_ тшх + грх lbJt _ тш2у + гру _ mu3z + ipz
(( D ^ Cl D ^ C- D ^
\]2mu) V2muj2 ^/2muj3
(lo = LU2 + dj3) и канонические сопряженные им импульсы ia*, ib*, гс*.
Новая функция Гамильтона, усредненная по периодам 2tt/uj2,3,
(Н') = е\а\2 + ri(a*bc + ab*c*), а
е = LUl - LU, Tj =
4^/2mLULU2^3
11.27] §11. Канонические преобразования
Уравнения движения
а = -iea - гфс,
Ъ = -ir/ac*, с = -щаЪ*
307
имеют интегралы
(Я') = А,
Уравнение
\ci\2+\b\2=B,
~j^\a\2 = irj(ab*c* - a*bc)
]2 = С.
можно представить в виде, удобном для качественного исследования:
?2 + V{?) = 0,
где ? = \а\2,
V(0 = (А- е?)2 - 4г/2?(В - ?)(<? - ?).
В начальный момент с = 0, поэтому А = еС, В < С и
У(?) = (С- ?)V - 4?) - 4 - В) (С - ?).
Графики V(?) для случаев е2 < 4фС и е2 > 4г/2С приведены на рис. 162,а и
б.
В первом случае ? испытывает колебания, так
лебания у и у не возбуждаются.
Подробно об этой задаче см. [22].
.,*2
где
? = Ш - 7,
3/3 8 №2
Г) =
hm 8 '
1 Интегралы В а С называют интегралами Мэнли - Роу.
308
Ответы и решения
[11.28
б) Уравнения движения
-а = г(е + 2р\а\2)а + 2 irja*, а* = г(е + 2р\а\2)а* + 2 ir/a
имеют постоянные решения
а0 = 0, |&1|2
,1,1 я ? = \а\2 получаем уравнение
2 у
? = -2 ir](a*2 - а2).
Учитывая, что (Н') = е? + ц?2 + г)(а2 + а*2) = С = const, получаем
?2 + У(?) = 0,
где Н(?) = 4г)2[(а*2 + а2)2 - 4|а|4] = 4(С - е? - ц?2)2 - 16у2?2. В
интересующем нас случае, согласно начальным условиям, величина С мала. В
области резонанса е < 2г/ график V(?) (рис. 163) позволяет заметить, что
? испытывает колебания в пределах от нуля до ?т и 21 о.т |2.
Таким образом, переход к установившемуся режиму колебании ? = ад]2 (ср. с
задачей 8.7) может быть обеспечен лишь каким-то неучтен-
Рис. 163
быть весьма длительным. Подчеркнем, что этот переходной процесс имеет
характер биений даже при нулевой "расстройке", е = 0, в отличие от
переходного процесса в линейных колебаниях (см. задачу 5.11).
11.28. Усредненная функция Гамильтона
¦2 ' h
(H'(Q, Р, t)) = H'(Q, Р) = (е - |)q2 + ^ (е + §)р2.
Величина \JQ2 + Р2/т2и:2 представляет собой амплитуду колебания.
Переменные Q и Р мало изменяются за период 2л/у. Это легко видеть из
уравнений Гамильтона, содержащих малые параметры ей h.
11.29]
§11. Канонические преобразования
309
Р
Q
а)
б)
Рис. 164
На плоскости Q, Р точка, изображающая состояние системы, движется по
линии H'{Q, Р) = С = const. На рис. 164, а и б приведены семейства таких
линий для области параметрического резонанса |е| < h/2 и ее окрестности
|е| > h/2. В первом случае амплитуда в конечном счете неограниченно
растет, во втором - испытывает биения (ср. с задачей 8.8).
11.29. а) Легко проверить (ср. с задачей 11.4), что данное
преобразование - каноническое.
При V = 0 движение ./ -осциллятора изображается движением точки по
окружности в плоскости х, px/muji с частотой од. Радиус этой окружности
совпадает с амплитудой колебаний по оси х. В плоскости X, Px/muj\ это
будет неподвижная точка X = ж(0), Рх = рх{0). Таким образом, новые
переменные при V = 0 не зависят от времени и потому Hq = О.1
При V ^ 0 эти переменные зависят от времени, но так как новая функция
