Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
Гамильтона И' = Hq + V = V мала, то усредненное движение в
*Из уравнений Гамильтона для новых переменных (например, X = 8Н//дРх = 0)
следует, что Нg не зависит от них и потому Нg = f(t), где f(t) -
произвольная функция времени, которую мы, не теряя общности, можем
положить равной нулю.
310
Ответы и решения
[11.29
этих переменных медленное. Действительно, после усреднения
X = -г-Y, Y = --Р-Х
и из уравнений Гамильтона
4cji : 4сс?2
легко получить
X =Acos(yt + <p), Y = -y^T4sin(7t + 9j), 7 = _ < uU2.
Аналогично для новых импульсов имеем
Рх = muJiB cos(71 + ф), Ру = -m-sjUJ1UJ2B sin(7^ + ф).
Таким образом, в плоскости X, Рх/ггы\ происходит медленное (с частотой 7)
движение по эллипсу, что отвечает колебаниям по оси х с медленно
изменяющейся амплитудой
a(t) = \JX2 + (Pxjmuj\)2 = у/A2 cos2 (-ft + <р) + В2 cos2 (yt + ф), т. е.
биениям. Аналогично амплитуда колебаний по оси у равна
Щ) = \!А2 sin2 (2it + р) + В2 sin2 (7t + ф).
Отсюда видно, что энергии х- и у-осцилляторов Ех = ^ти>2а2 (t) и Еу =
= -mcj|62 (?) и их сумма Е = Ех + Еу не сохраняются. Однако сохраняется
величина, которую можно назвать полным числом квантов,
" = El + 3l =
Тьи)\ а&2 2а
где С = \/А2 + В2, a h - постоянная Планка.
В частности, при р = ф = 0 амплитуда биений доходит до нуля
р
х = X cosujit + my sin 07 i = С cos jt cos (uj\t + щ),
y = ~C\f^k sin7ic°s(w2t + ^o), tgip0=-^,
а энергия колеблется с частотой 2у:
Е = ^ти)\С2 {ш\ cos2 71 + х>2 sin2 71) .
12.2]
§12. Уравнение Гамильтона-Якоби
311
Интересно отметить, что даже слабая связь \V\ <С Hq = Е приводит к
большим изменениям энергии АЕ ~ Е. Так при (р = ^ = 0иш1>Ш2 имеем
АЕ = ^ти> 1 (и}\ - и>2) С2 ~ (Е) = (ид - 002) С2.
Укажем, наконец, что эта задача совпадает с задачей 11.26 о трех
осцилляторах со взаимодействием imaxyz в пределе настолько большой
энергии z-осциллятора Ez EXjV, что биения х- и у-осцилляторов почти не
сказываются на его движении
z = zo sincL>3t, oj3 = cl>i - cl>2-
При этом j3 = ^azo, a nh совпадает с одним из интегралов Мэнли-Роу (с
интегралом В в обозначениях задачи 11.26). Третий осциллятор играет роль
большого резервуара энергии, с которым х- и у-осцилляторы обмениваются
энергией.
б) Новые канонические переменные экспоненциально возрастают со временем
X = Ае11 + Be-A, Y = (Яе7* - Be-А) ,
Рх = muji (De7* + Fe l't) , Py = (De11 - Fe_7() ,
что соответствует экспоненциально растущим амплитудам колебаний по осям
а; и у. В этом случае сохраняется разность числа квантов
Ех Еу 2тш\ , . _ _
- р~~ = -T^iAB + DF).
fUdl UUJ2 Tl
§ 12. Уравнение Гамильтона-Якоби
12.2. Очевидно, что траектория - плоская кривая. Переменные в уравнении
Гамильтона-Якоби разделяются, если воспользоваться полярными
координатами, направив полярную ось z вдоль а. Полный интеграл уравнения
Гамильтона-Якоби
312 Ответы и решения [12.2
Для уточнения знаков в (1) воспользуемся соотношениями
pr = mf = ^ = ±*2тЕ- -4, (2)
дг у г
Ро = тг2в = Щ- = ±\Л3^2пшс(^. (3)
да
М
О
Рис. 165
На начальном участке траектории г < 0, в > 0 (мы предполагаем, что
траектория расположена над осью г, рис. 165). Поэтому перед первым
радикалом в (1) нужно сохранить нижний знак, а перед вторым - верхний.
Равенство д Я
тг- = В - это уравнение траектории
д[3
9 г
[ de + Г- dr = в (4)
J \J(3 - 2та cos 6 } г2 у/2тЕ - f3/r2
Нижние пределы интегралов можно выбрать произвольно, пока не определена
постоянная В. При нашем выборе из условия 6^0 при г -> сю следует В = 0.
Постоянная [3 есть интеграл движения нашей задачи и из (3) [3 = Рд + 2та
совв. Она выражается через параметры частицы при г -> сю и в -> 0, т. е.
до столкновения, когда pg = rrivp (р - прицельный параметр),
/3 = 2 т(Ер2 + а).
При изменении г от оо до rm = = \J ^ ^ %' опРеДеляемого
условием рг = 0, в изменяется от нуля до вт такого, что
9т Тт
f d0 ! [ dv ^ ^ ^
J у/(3 - 2 та cos в J г2 у/2 тЕ - (З/г2
12.2] §12. Уравнение Гамильтона-Якоби 313
Дальнейший рост в сопровождается ростом г. При этом рг меняет знак.
Уравнение участка траектории LM
dr = 0. (6)
J л//3 - 2та cos в J г2 у/2тЕ - (З/г2 Удобнее переписать, сложив (5) и
(6):
0 оо г
d9 dr dr
J y//3 - 2macosd J r2y/2rnE - [3/r2 J г2y/2mE - j3/r2
= 0. (7)
При r -> оо траектория асимптотически приближается к прямой, параллельной
ON. Угол #тах можно найти из равенства1
(10 =2 dr = (8)
J у/(3 - 2та cos в J г2 J2mE - в/г2 у/Д
0 Т гп
BS
Равенство = А определяет зависимость r(t). Выбирая А так, чтобы оЕ
r(0) = rm, получаем
г = у/v2t2 + = ^/92 + + w2i2.
(9)
Интеграл по г в (4) и (7) вычисляется элементарно, а по 0 сводится к
эллиптическому._________________М________________ (
При Ер2 а можно разложить подын- ----------------------------------- --
М'
тегральное выражение в (4) и (7) по степеням р
Щфк ~ с точностью до первого порядка
Р Ер2
г sin в = rm(l - -^cos6"j (10) 0
2 Ер
(рис. 166).
Рис. 166
1 Обратим внимание на следующий прием, позволяющий обойти вычисление
интеграла по г в (8). Этот интеграл не зависит от а и, следовательно,
