Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
а) Если магнитное поле мало, и>ж Cwi - и>2, то эллипсы нормальных
2
колебаний сильно вытянуты, а частоты ГЬ q ~ a>i 2 ± шжШ1,2 близки
2 {ul-ul)
к ю\р. Траектория осциллятора без магнитного поля заполняет прямоугольник
со сторонами, параллельными осям координат (см. задачу 6.4); влияние
слабого магнитного поля приводит только к небольшой деформации области,
заполняемой траекторией. (Теорема Лармора здесь неприменима, так как поле
U не обладает симметрией относительно оси г.)
б) В сильном магнитном поле ю ./( ур ю\нормальное колебание с частотой Hi
и jj ./f происходит по окружности, а нормальное колебание с ча-
~ гл OJ1OJ2 ~
стотои {1% ~ ~йГ^ п0 ЭЛЛИПСУ> У которого отношение осей, параллельных х и
у, равно Таким образом, происходит движение по окружно-
сти, центр которой относительно медленно движется по эллипсу.
Известно, что при движении заряженной частицы в сильном однородном
магнитном поле в плоскости, перпендикулярной к полю, появление
ди
слабого квазиоднородного поля U{г) (т. е. такого, что сила F = - мало
6.37]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
203
изменяется в пределах круговой орбиты) приводит к медленному смещению
(дрейфу) центра орбиты в направлении, перпендикулярном к F (т. е. по
линии уровня U(г)) (см. [2], § 22). Заметим, что в нашем случае подобный
же дрейф происходит и в сильно неоднородном осцилляторном поле.
в) Если оо\ = to-2, то в плоскости (ж, у) нормальные колебания
представляют собой движения по окружностям в противоположные стороны с
частотами Пц2 = со ± оож)2, где со = ^оо2 + оо2ж/А. Поэтому в системе,
вращающейся с частотой -оож!2 обе частоты этих движений оказываются
равными оо. Такие движения суть нормальные колебания изотропного
осциллятора с частотой оо. Действительно, сумма и разность таких
колебаний с равными амплитудами
/ cos cut\ /cos uot\ у-sin oot) ^sim/iy
представляют собой линейные колебания по осям ж или у. (Мы отвлекаемся от
смещения вдоль магнитного поля.)
Если магнитное поле мало, :х:// <7 ж|, то оо к, оо\, и все влияние поля
на движение осциллятора сводится к появлению вращения ("прецессии")
вокруг оси z с частотой - оо#е/2 (теорема Лармора, ср. [2], §45). Если же
х>ж А оо\, то использование вращающейся системы теряет наглядность.
6.37. Уравнения движения
х + оо\х = oozy,
У + w2 У = ~U,ZX + X!xZ, z + oo\z = -ooxy,
где
еЖх e#ez
c°x ~ me ' Wz ~ me
решаем с помощью последовательных приближений. Ищем координаты в виде х =
а/1) + х^2\ у = + у^2\ z = z^ + z^ где х^2\ у^2\ z^
малы по сравнению с а/1), у^\ z^\ В первом приближении пренебрегаем
малыми членами, стоящими в правых частях уравнений:
я/1) = Acos{oo\t + а), уЫ = В COs(t02t + /3), zi1) = С cos(oo3t + 7).
204 Ответы и решения
Поправки xS2\ у(2), z^ определяются из уравнений
[6.37
X + и)\х^ =
у( 2) + ^ =
*(2) + Ш&2) =
uzy{1\
-LJZ±{1) +LJxZ(-l\ (1)
-иху{1)-
Получаем
"(2) _ - UZU2B Sin(uJ2t + P)
x ~ Д2 '
W1 - W2
(2) _ uj\u:zAsm{uj\t + а) smfazt + 7)
У ~ ~Л ~2 ~2 ~2 ' ( )
w2 ~ w2 - w3
_(2) _ U!XU!2B sin(u!2t + /3)
^ ~~ 7~Д '
U3 ~ W2
Поправки оказываются малыми, если \coz\ <С |wi - ui2\, \шх\ <C 1^2 -
0C31. Нормальные колебания суть колебания по эллипсам, сильно вытянутым
вдоль осей координат.
Если же, например, \loz\ > \cui - to2\, \lox\ <С \to2 - оэз|, то х^ и
у(2\ согласно (2), уже не малы. Это связано с тем, что частоты "сил"
uJzij^ и -u>zx^1'1 в (1) оказываются близкими к собственным частотам
осциллятора. В этом случае в уравнениях первого приближения следует
сохранить резонансные члены:
х
(1)
+ и>1х{1] -ix>zy{1] = 0,
¦ij^ + tu^xS1'1 + cozx('1') = 0, (3)
zW+wfzW =0,
т. е. влияние Жг на движение необходимо учесть точно. Система (3)
рассмотрена в задаче 6.36. Для поправок второго порядка имеем уравнения
6.39] § 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 205
Выпишем свободные колебания, во избежание громоздкости ограничившись
случаем to\ = 1x2 = to:
Нормальные колебания (4) с частотами to ± происходят (в принятом
приближении) по окружностям, плоскости которых составляют с плоскостью
(ж, у) углы (поворот вокруг оси у), а колебание с частотой toз -
а>3 - to
по сильно вытянутому вдоль оси z эллипсу, лежащему в плоскости (у, z).
6.38. Колебания маятника предполагаем малыми, угол отсчитываем от
вертикали против часовой стрелки, в качестве второй координаты возьмем
заряд q на правой пластине. При отклонении маятника на угол tp магнитный
поток через контур равен Ф = const - ^Ж12(р, поэтому функция Лагранжа
(см. задачу 4.21)
2
^ = 2 (ш^2<^2 ~ myltp2 .yCl2tpqj .
Если ввести координаты ж = Itp и у = ^Jlfjrnq, то функция Лагранжа нашей
системы отличается от рассмотренной в задаче 6.36 (с параметрами
to2 = у, to2 = to= при z = 0) лишь на полную производ-
^ 2 л/т!?
ную по времени: 4-хЦ- Поэтому уравнения движения и их решения в
л dt
задаче 6.35 справедливы и для нашего случая.
6.39. Пусть
г = Acos(tot + tp), А = (Hi, А2, ..., Лдг) (1)
- какое-либо нормальное колебание. Поскольку замена Xi -> SjjXj,
