Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
\j(у2 - - |о+ 4А2у2 cos(yi + </?! + 4)2 + -0)
ту/[(у2 - о;2)2 + 4А2у2] [(у2 - о;2)2 + 4А2у2]
акк\ cos(yi + </?i + 7^2)
т2д/[(72 - ^!2)2 + 4А2у2][(у2 - о;2)2 + 4А2у2] '
2 к 2 к А 2к\ 2Ау 4Ау
Ш1 = Ш> ^ = т , tg у 1,2 = , tg "0 -
Х2 =
^ ' , :г I , :г ъ'г
7 - ^1,2 си1-\-си2- ^7
182
Ответы и решения
[6.16
Между колебаниями двух частиц возникает сдвиг фаз полного демпфирования
колебании первой частицы нет. Амплитуда колебаний как функция частоты
вынуждающей силы 7 имеет один или два максимума в зависимости от
соотношения параметров lo\, 102 и Л (см. [16], § 1).
6.16. Функция Лагранжа системы (ж и у - смещения из положения равновесия
первой и второй частиц)
f
h
т
&2 2 ^2 X--------------------
то
кз 2 | 2fc2 \ , 7 ,
-У ~гпхУ> к\ах cosyi
отличается от функции Лагранжа, рассмотренной в задаче 6.5 а, лишь
слагаемым xkiacos^/t, отвечающим силе к\а cos yi, действующей на первую
частицу. Ниже мы будем пользоваться обозначениями за-
дачи 6.5 а. Парциальная частота и>\
к 1. 2 + к2
соответствует нормальной частоте системы, которая получится, если
закрепить вторую (первую) частицу в положении равновесия, т. е. положить
у = 0 (соответственно х = 0). При переходе к нормальным координатам Q1,
(j> функция Лагранжа приводится к виду
Рис. 127
L = f(Q21-Q21Q21 + Q
V-lQl) + (F1Q1 + F2Q2) cos71,
где F\ = kiacosp и F2 = - ^asin^ - проекции амплитуды силы F = =
fciacosyi на нормальные координаты Q1 и Q2 (рис. 127). Для координаты
Qi;2 мы получаем уравнение движения осциллятора с частотой 2 под
действием вынуждающей силы F\ _ 2 cos 7/. Начальные условия Qi (0) =
<Эг(0) = 0. Получаем
Q 1,2
-Fi, 2 (cos - cos 21)
m(^i,2 -72)
У данной системы в приближении слабой связи
к2
кз - fc]
= ?"1
6.17]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
183
(для определенности к\ < fc3) интересно рассмотреть резонанс на второй
нормальной частоте. Полагая у = П2(1 + ?1), имеем
Qi = ^ia (C0Sbj2i - cOSLOit).
к i - fc3
" kias . ( LO2 ,\ . , I,
Q2 =-------5-sin ?1-7 sinпри |?i| <C 1,
TO012?i \ Z )
Q2 =sin u>2t при ?1 = 0.
2mt02
Таким образом, даже при слабой связи амплитуда Q2 может быть большой или
расти со временем, однако скорость ее изменения при этом будет мала.
Поскольку угол поворота мал (sin 7? = ?), для смещении имеем: х = Q 1 -
eQ2 и у = Q2.
Какова скорость роста амплитуды колебаний при резонансе на первой частоте
у = Oi?
Как изменится характер колебаний, если на обе частицы будет действовать
малая сила трения, пропорциональная скорости (ср. с задачей 5.11)?
617' ТГ ТГ ¦
Fq COS ip Fq Sin ip
a) x =--------- - cos 71, у = - cos 71,
' m(w2-y2) ' y т(и% - 7 ) '
где lo\ = ip - угол между направлением силы и осью АВ, а х
и у - смещения из положения равновесия вдоль осей АВ и CD. Частица
колеблется вдоль прямой, проходящей через центр.
Интересно, что при у2 = lo\ sin2 р> + cos2 ip эта прямая перпендикулярна
к вектору Fij. В этом случае работа вынуждающей силы равна нулю. Поэтому,
казалось бы, наличие даже малого трения должно привести к затуханию
колебаний. Так ли это?
F . F
, 2---27 C0S 7*. У = , 2 2
гм (а; 1 - 7 ) гм (а;2 - 7
с полуосями а = ------- и Ъ = --------------. Если величины -
у2)
mlay - у | m|u;2 - у
и (а;2 - у2) противоположны по знаку, то движение частицы по эллипсу
происходит по часовой стрелке, а вектор силы вращается против часовой
стрелки.
Как изменятся описанные выше картины движения частицы, если натяжение
пружинок в положении равновесия не равно нулю?
б) х = ----------j- cos 7^> У =----2----г- s*n 7^- Траектория - эллипс
184
Ответы и решения
[6.18
6.18. Пусть Xi - смещение /-и частицы вдоль кольца из положения
равновесия. Три частицы могут вращаться по кольцу с постоянной угловой
скоростью, при этом
XI = х2 = Х3 = Ct + Cl = qi(t), и>1=0. (1)
Колебания же частиц 1 и 2 навстречу друг другу с равной амплитудой
/ 3 к
XI = -х2 = Acos(co2t + а) = q2(t), х3 = 0, со2 = \1 -щ (2)
происходят, очевидно, с той же частотой, что и колебания частиц 2 и 3
навстречу друг другу
xi = 0, х2 = -х3 = Bcos(uj3t + (3) = q3(t), и3=ш2. (3)
Г,
Рис. 128
v..V v
Введем "вектор смещения"
тогда колебания (1)-(3) можно представить в виде (рис. 128),
Любая линейная комбинация векторов г2 и гз также представляет собой
колебания с частотой ui2. Таким образом, в пространстве с декартовыми
координатами х\, х2, х3 совокупность решений, отвечающих колебаниям с
дважды вырожденной частотой х2 = х3. определяет плоскость, проходящую
через векторы Г2 и Г3.1 Как легко видеть из (4), оба эти вектора
'Отметим, что в этой плоскости линейная комбинация вида ori(t) + br2(t)
представляет собой либо колебания по прямой (при а = /3, /3 + 7г), либо
движение по эллипсу (при а ф /3).
6.18]
§ 6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
185
(а следовательно, и все векторы, лежащие в этой плоскости) ортогональны
вектору ri (общее соотношение ортогональности см. в задаче 6.22). Функция
Лагранжа системы
Нормальные координаты должны диагонализовать одновременно обе
