Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
выбрать, и притом не единственным способом, такие амплитуды,
которые
удовлетворяли бы (5) и (6) и приводили бы функцию Лагранжа к
сумме
квадратов.
6.23. Переходя к нормальным координатам
Хг =уДг(0(r),
I
преобразуем уравнение связи
Ybiqi = 0' bi = Ya*Ail)¦
I г
190 Ответы и решения [6.24
Уравнения движения с неопределенным множителем Лагранжа Л
Mi(qi + Clfqi) =bi\
можно решить, полагая
qi = Ci cos(ujt + ip), A = Acos(wt + ip).
Выразив Ci из уравнения
М,(П? -u32)Ci=hk и подставив в уравнение связи, получаем для новых частот
уравнение
АЕ
= 0.
Для исследования этого уравнения удобно представить график (рис. 129)
у(^2) = Е
bf
Ml (Q.I - LO )
= 0.
Рис. 129
Обратим внимание, что функция у(ю2) меняет знак, проходя через
бесконечное значение при со2 = О,2. После этого расположение корней loi
становится очевидным. Если какой-нибудь из коэффициентов bi равен нулю,
то соответствующее нормальное колебание (и его частота) не изменяются при
наложении связи.
Рассмотренному в этой задаче факту можно дать простую геометрическую
интерпретацию (см. [6], §24).
6.24. Подставив Xj = ^ А А) А^р cos ^ft в уравнения движения
получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов А^:
V Е А(|Чг)+Е %л(гЦг) = fi- (2)
г,3 3,1
6.24] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 191
Ее проще всего решить, используя соотношения ортогональности (5), (6)
задачи 6.22.
Для этого умножим уравнения (2) на и, просуммировав по г, получим
окончательно
A(s) = Fs---------
мм-i2)
где
Fs=YAi:]4 = Ks = Y4A(8)A{Y
г i,j
а величина ujs = у/.Kjws является s-й нормальной частотой системы в
соответствии с формулой (4) задачи 6.22.1 Зависимость А*Л от у имеет
резонансный характер.
Для нормальных колебаний qs, введенных по формуле
Xi = YAi>)qs(t')'
вместо (1) получаем следующие уравнения движения:
Msqs + Ksqs = Fs cos jt. (4)
Отсюда, если вектор силы /* ортогонален к амплитуде некоторого s-ro
нормального колебания = 0, то соответствующая нормальная
коорди-
г
ната удовлетворяет уравнению свободных колебаний, и резонанс на данной
частоте при и> = los не проявляется.
Отметим, что работа внешней силы в этом случае равна нулю
(j2fidXi=J2 /гЛ(5) dqs = о).
'г г '
Пусть вектор силы параллелен какому-либо нормальному колебанию:
fi
-2- = const (г = 1,2,..., N). Может ли такая сила возбудить другие
нормальные колебания?
1Если некоторые нормальные частоты вырождены, то соответствующие им
амплитуды нормальных колебаний мы считаем выбранными так, чтобы они
удовлетворяли соотношениям ортогональности (5) и (6) задачи 6.22.
192
Ответы и решения
[6.25
6.25. Вынужденные установившиеся колебания можно представить в виде (см.
предыдущую задачу)
где
(I) л(1)
А}4 А'
Mi (ujf - у2
Теорема взаимности отражает тот факт, что /3^ = /Тд.
Как изменится формулировка этой теоремы, если координаты ж* и :е:1 имеют
разные размерности (например, для электромеханической системы)?
6.26. Нормальные колебания
Л\
1
1
V1/
4i,
( Л
о
-1
V о/
42,
( 0\ 1
О
V-1/
Чз,
( 1 ^
-т/М
1
\-т/М J
44,
где gi = At + В, qi = At cos + at), г = 2, 3, 4; = Ш' ш з
= If'
2 к
2 к(М + т) тМ
М'
. Три первых колебания легко угадываются, а последнее находится из
условия ортогональности к первым трем. Поскольку массы частиц различны,
условие ортогональности двух нормальных колебаний А и В имеет вид тА\В\ +
МА2В2 + ГГ1А3В3 + МА4В4 = 0 (см. задачу 6.22).
6.27. Пусть Х{ - смещение /-и частицы вдоль кольца. Два нормальных
колебания легко угадываются:
Г1
Л\
1
1
W
41 0), Г 2 =
( Л
о
-1
V о)
42(t),
(1)
qi{t) = Cit + С2, q2{t) = А2 cos(u2t + Р2), и;2 = Щ.
Два других вектора должны быть ортогональны к векторам (1) в метрике,
определяемой коэффициентами квадратичной формы кинетической энергии
6.28] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями
свободы 193
(см. задачу 6.22), т. е. иметь вид
( а \
а
Ъ
а
\
q(t).
(2)
2/
Подставляя (2) в уравнения движения первой и второй частиц
тх 1 + k(2xi - Х4 - Х2) = 0, тх 2 + к( 2ж2 - х\ - х3) = О, получаем
уравнения для определения величин а, Ъ и частот
{-тсо2 + 3 к) а -^6 = 0,
-2 ка + (-mix2 + 2k)b = 0.
Из (3) находим х>\А = 5 Т ^ b3A = (1 ± Vb)a3A или
(3)
ГЗ,4 =
(
1 ± л/5 1
\--т -/
V 2 + 2 /
<13,4 (t),
13,4 = Л3;4 COS{L03At + </?3;4).
6.28. а) Пусть Х{, у*, 4, - отклонение г-й частицы от положения
равновесия. Функция Лагранжа системы имеет вид (см. задачу 5.7)
L = Щх, х) + Щу, у) + Li(z, z),
Li(x, х) = 4^{х\ + х\ + х\ + х\ + х2) - | [a;f + (xi - ж5) + (ж5 - х3)2 +
xl+ X2 + (ж2 - Ж5)2 + (^5 - Ха)2 + X2] ,
поэтому колебания по х, у и z происходят независимо. Легко угадать три
нормальных колебания по х:
/Л / 0\ / 1\
ri =
0 -1 о
V о/
Qi, г2 =
1 0 -1 V о/
12, Г3 =
-1 1 -1 V о/
<?з,
(1)
з(и;Д + (/зг), и>1 = lo2 = из3 = \ -.
194
Ответы и решения
[6.28
Два остальных нормальных колебания должны быть ортогональны к векторам
(1) и потому иметь вид1
Г4,5
( а\
а
а
а
\dj
94,5-
Подставляя этот вектор в уравнения движения для первой и пятой частиц
