Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
(3) из вида функции Лагранжа, не находя 2 в явном виде?
Рис. 126
'Следуя Мандельштаму [7], парциальной частотой мы называем частоту
колебаний системы, которая получается из исходной при х = 0 (или при у
0).
178
Ответы и решения
[6.6
6.6. а) Функция Лагранжа системы (см. задачу 4.22)
где с/| и с/2 заряды на верхних пластинах конденсаторов С\ и С2. Введя
новые переменные \p?[q\ = ж и \flS2q2 = у, мы получим функцию Лагранжа
задачи 6.5 а с параметрами
2 1 / 1 , 1 \ 2 1/1.М 1
&АС Cl У' 2 <е2\С с2)' СА?А?~2'
б) Заменой переменных yi = л/Cia;, q2 = л/С^У можно функцию Лагранжа
данной системы свести к функции Лагранжа задачи 6.5 б с параметрами
т1<2 = (se + selt2)clt2, ,в = ^^с1с2.
Могут ли данные системы стать неустойчивыми?
6.7. Пусть 2Ci и х2 - отклонения частиц mi и т2 от положения равновесия.
Сделав замену ^/тJxi = х и у/т2х2 = у, получим для системы функцию
Лагранжа, рассмотренную в задаче 6.5 а.
В различных предельных случаях ответ может быть получен без решения
уравнений. Например, если все ki = к и mi <С т2, то возможно нормальное
колебание очень низкой частоты Пт = a;i = \х2 (ча-
Z7712 ^
стица mi является как бы элементом пружинки, а частица т2 колеблется
между пружинками жесткости У/г слева и к справа) и очень высокой частоты
S?2 = (когда частица т2 почти покоится). Амплитуду колебаний второй
частицы можно найти, рассматривая ее движение как вынужденное под
действием вынуждающей силы кх\ высокой частоты (см. [1], формула (22.4)):
х2 = -тг^-жъ
27712
Подобным же образом интересно рассмотреть случаи
а) mi = т2, к\ = к2 <С кз;
б) все жесткости различные, но одного порядка, a mi <С т2;
в) fc2 > fci = к3, а массы тi и гп2 одного порядка.
6.10] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 179
6.8. a) xi, 2 = ! sincJii± ^sinw2fj; при k\ <С к колебания имеют форму
биений:
xi = ту cos et • sin cut, xo = - 7i sin et ¦ cos cot.
LU ' LO
б) Xi, 2 = |(coscjH ± cosLU2t); при k\ <C k
xi = a coset ¦ cos сot, X2 = asinet ¦ sincjt.
Т-" 2 k 2 2/ci k k\ 1 / , \
Всюду cjf = ^-, e = -wi, cj = + w2).
6.9. Энергия, переданная от первой частицы ко второй за время dt, равна
работе силы F = к\(х\ - х2)
dE = fci(xi - х2) dx2 = fei(xi - ж2)ж2 dt,
а поток энергии ^ = fci(xi - ж2)ж2• Для предельного случая к\ <С к в
задаче 6.8 а поток энергии, усредненный по периоду быстрых колебаний,
равен ^-cjisin2ei и меняет знак с частотой, равной удвоенной частоте
биений.
6.10. Уравнения движения
тх 1 + fci(xi - х2) + кх 1 + axi = 0, тх2 + ki(x2 - xi) + кх2 + ax2 = 0
при замене хц 2 = ~р= (д \ ± 92) распадаются на два уравнения для
нормаль-
V2
ных координат
91 + wi9i + 2Aqi = 0,
92 + w292 + 2А92 = 0,
где со\ = cj| = к +^kl, 2А = Поэтому при А < w1)2 (см. [1], §25)
xi,2 = e_Ai[acos(7it + щ) ± 6cos(72t + ^2)],
где 772 = yjw 1,2 - ^2-
Для системы рис. 22 при наличии трения характеристическое уравнение не
биквадратное, а четвертой степени, поэтому найти свободные колебания
гораздо сложнее.
180 Ответы и решения [6.11
6.11. Функция Лагранжа двойного маятника
Т _ М ¦ 2 , ТО ¦ 2 Мд 2 тпд г 2 I / \2]
i 2Xl 2Ж2 21 21 ^
где xi и а;2 - отклонения точек М и то от вертикали, проходящей через
точку подвеса (ср. с задачей 6.3а). Заменой
х У
xi = -=, х2 = -=
\[М \fm
функция Лагранжа сводится к виду, рассмотренному в задаче 6.5а, причем
2 2 _ 2тУ " _9 Гт
" а = т, -.
1 2 Ml 1\1 М
В этом случае
х = -;=(Qi - Q2), У = /=(Qi + Q2),
л/ 2 л/2
где Qi = ai cos ?7/ + bi sin Q,it,
п''2 = \/?т5' 1 =
С учетом начальных условий Qit2(0) = , Qi, г(0) = 0
получаем
V2
Ж1 = sin7t sin \ff
Гд
x2 = 1/3 cos 71 cos W j t.
Таким образом, маятники колеблются "по очереди" и амплитуда верхнего
маятника в УМ/т раз меньше, чем нижнего.
6-12. ак(к\ + к - Ш72)
2т 2 2\( 2 77 cos7^j
(7' -wf)(72 -w|)
akki
m2(72-"^!)(72-^22)
= -7777---------7777-----77 cos7i,
2 к 2 к + 2к\ где сэ2 = ^,^ =
6.15] §6. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 181
6.13. х\ = Х2 = ---j cosyi, где ау - смещение вдоль кольца из
к - т.'у
положения равновесия г-ж частицы. Резонанс возможен только на одной из
нормальных частот при 72 = к/т (см. задачу 6.24).
6.14. Пусть Xi - смещение вдоль кольца из положения равновесия i-й
частицы, тогда
akjuj2 ~ 72) т(72-^12)(72-^з2)
Xl = Хз = / .,2 awa ,,2ч C0S7*,
___________2ак2_____________ ,
2/2 2\f 2 2/ ^^7 1
где собственные частоты и// равны и;2 3 = (2 A л/2)7 о/2 = Щ. Обрати
м
внимание на то, что при 7 = 0/2 смещения х\ = х$ = 0, а х^ = -acosyt.
Почему число резонансов в системе меньше числа нормальных частот?
6.15. Уравнения движения (ср. с задачей 6.12)
тх 1 + ах\ + кх\ + к\(х\ - х2) = fcaRee*7*, тх 2 + "±2 + fc^2 + к\{х2 -
Х\) = 0.
Ищем решение в виде х\ = Re Де*7*, х% = R e??e*7t. Для 4иВ получаем
(-my2 + 2гтАу + к + к\)А - к±В = ка,
- к\А + (-ту2 + 2гтАу + к + к\)В = 0, 2тА = а,
уравнения
откуда
afc(fc + fei - my2 + 2iAmy)
./l ^
В =
m2( у2 - 2гАу - о/2)(у2 - 2гАу - о/|) акк\
ак
Х\
т2( у - 2гАу - о/2)(у - 2гАу - о/|)
