Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
0,9018 3.6 0,9233 3,8 0,9411 4,0 0,9555 4,2 0,9670 4,4 0,9759
4.6 0,9827 4.8 0,9878 5.0 0,9916 5,2 0,9943 5,4 0,9962 5,6 0,9975
5.8 0,9984 6.0 0,9990
переменной в § 20 фигурировала величина W
Y2 — X
v W v
где X = — х, Y
у (см. (20.5) и (20.19)). Если V <С.Х (X > 0,
У > 0), то
X
Y
У-
и
2 2 УХ 'ух
Таким образом, если только У <^Х, аргумент, введённый в § 20,
будет совпадать с независимым переменным теории пограничного слоя.
1 , Г~ , Г Ух2 4- Y2 + х Кроме того, так как -у jj У -----------?>------
’ т0 ДЛЯ
К <^Х имеем ~Y X =Yx. Таким образом, для К
32]
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ 573
имеем по (20.9) ^если ограничиться первым членом) ф=Ух/ (у j/^
или по (20.19) 6 — У'/Uх С (у уГ~ J , и мы придём к формуле (32.4).
i\, \ ЛГЧ7
Отметим, что по Блазиусу lim — — — (?'—С), или,
у -i. .-vk U X
-'v 1 Г ?
на основании (20.41), lim ~^~=~Л/ X
V 2 |/ I7 г"
L i/_L) _ _У______
у ^ оо ?/ 2 (/ Ux Ух УТ
в то время как в точной постановке lim -4—>0. Различие в рас-
У -> со U
пределении значений vy видно из сравнения рис. 165 и 177.
Чтобы вычислить сопротивление, испытываемое пластиной, найдём сначала
но вследствие предыдущих формул
к’тУу=уу^т,
dvx ___ ,
ду
поэтому
•V (32л3)
Если пластинка имеет ширину b и длину /, то суммарное сопротивление,
испытываемое как верхней, так и нижней сторонами пластинки, будет равно:
w=2bV^uirf ^-=4 ьо. v^m,
ух
о
т. е.
W= 1,328* УуУПЧ. (32.14)
Вводя коэффициент сопротивления по формуле
W — cwF • у р^/2, (32.15)
где F— 2Ы, получим:
<?„=1.328УУ=Щ. (32.16)
пе R = /i//y есть число Рейнольдса. Полученное значение коэффициента
сопротивления хорошо согласуется с коэффициентами, найденными из
экспериментов над гладкими пластинками для чисел рейнольдса, не
превосходящих 3 • 105.
574
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
1ГЛ. It
Определим ещё толщину пограничного слоя. Вычислим величину 8*,
определённую формулой (30.1):
Толщину пограничного слоя можно принять равной, например, 38*, как
рекомендует Прандтль; тогда будем иметь:
Такому 8 соответствует 5 = 5,2, т. е. по вышеприведённой табличке
отклонение скорости от скорости внешнего потока на 1/2%.
Применим теперь к рассматриваемой задаче метод использования
интегрального соотношения Кармана. Так как мы имеем дело с установившимся
движением, в котором
то основное уравнение теории Кармана (30.7) напишется так:
Если бы нам было известно, что распределение скорости внутри пограничного
слоя определяется формулой
СО
0
По формулам (32.21) и (32.22)
СО
о
произведя вычисления, получим:
(32.17)
(32.18)
d__
dx J 0
= (32.19)
о
= uf (х) = uf iri)>
где
то мы имели бы
S 6 1
J v2x dy — U J vx dy — U4 j [f2 (13) — / (73)] drt = — iU'2S.
0
u
0
3,] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ 575
где для краткости введено обозначение
1
Т = / (/ — f2)dr\. (32.20)
о
Далее,
Щ„=и/'(0)Т' 02.21,
поэтому уравнение (32.19) принимает вид:
т-L12 db — ^ (0) dx о ’
откуда
db _ yf (0)
84^ =
dx ?jU
Интегрируя это уравнение и считая, что 8 = 0 при л: = 0, получим:
8 = j/~ (32.22)
Так как вследствие формул (32.32) и (32.33):
„ММ _ v-Uf'(0) _ Г wf'(0) изч
)у=0~ 6 -V 2х ’
то для сопротивления, испытываемого с обеих сторон пластинкой ширины Ь и
длины I, мы получим формулу
I ________________
W — 2Ь f |/" ^0^7 dx = 2byr2р.р/' (0) U3^l; (32.23)
о
в иной форме это соотношение принимает вид:
?\/~ М10-. (32.24)
Наконец, для определения величины 8* мы имеем, согласно формуле
(30.1):
1
8*= 8 J [1-/(7))]^. (32.25)
о
Основная идея метода Кармана состоит в том, что вместо того чтобы
отыскивать точный вид функции /(vj), можно задать вид этой функции. Если
мы правильно схватим общий характер распределения скоростей в пограничном
слое, то получим хорошее приближение Как Для зависимости 8 от х, так и
для численной величины коэффициента сопротивления.
576
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ггл п
Отсюда видны и положительные и отрицательные стороны метода Кармана. Этот
метод хорош тем, что он требует гораздо меньших вычислений по сравнению с
точными методами интегрирования дифференциальных уравнений теории
пограничного слоя. Плохая же сторона метода Кармана состоит в том, что он
применим, в сущности говоря, только к тем случаям, когда мы имеем плавное
распределение скорости в пограничном слое, так как только в этих случаях
мы можем ожидать, что задаваемая с довольно большим произволом функция
/(г;) отразит общий характер течения в пограничном слое. Поэтому, в
сущности говоря, мы должны довольно много знать о характере течения в
пограничном слое, чтобы иметь возможность применять метод Кармана.
В нашей задаче мы имеем дело с очень плавным распределением скоростей, и
потому мы должны ожидать, что метод Кармана даст хорошие результаты. В
самом деле, примем, например, что
/(т]) _-=т); (32.26)
это обеспечивает нам при у = 0 1^ = 0, а при у = о vx — U, как
и должно быть. Мы будем тогда иметь;
1
О
поэтому формула (32.33) даёт;
8=2 \/~-~jj- — 3,464 а по формулам (32.34) и (32.35)
