Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
о
U^ d /*
] ?vxdydtdx,
о
выносимой через ВВ1. Поэтому полное изменение живой силы рассматриваемой
системы точек равно:
| d f v6x U2 d г 1
dT= dxdt[ (Tx j n~ dy j- -d- J uvx dy |.
I 0 0 J
Подсчитаем теперь работу внешних сил на контуре ААХВХВ. Работа сил
вязкости на отрезке ААХ равна нулю, так как скорость жидкости на ААХ
обращается в нуль; на прочих частях контура работой сил вязкости
можно пренебречь. Работа сил давления на
контуре ААХВХВ выражается интегралом
— J pvn ds dt,
AAtBiB
где n есть внешняя нормаль к контуру. Но по формуле Гаусса
fpvnds=ff div (pv) dx dy,
с s
где 5 есть площадь, ограниченная контуром С; далее
div (pv) = р div v -j- grad p • v,
и в нашем случае div г» —0, а р зависит только от х, так что
а дР
gradp-v^-— vx.
Поэтому искомая работа сил давления равна
О
dA = — j' pvndsdt = — j' vxdydt.
AAfifi 0
Как мы знаем, работа приложенных к частицам вязкой жидкости сил
расходуется не только на увеличение кинетической энергии этих частиц, но
частью диссипируется. Функция диссипации ?(см. § 7) в нашем случае
упрощается на основании (7.7), принимая следующий вид:
ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ КАРМАНА И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 565
ибо остальные слагаемые,, входящие в Е, малы по сравнению с написанным.
За время dt в рассматриваемом объеме жидкости рассеивается количество
энергии, равное
dB = dt dx f dy.
о
Составляя равенство
dT — dA — dB, приходим к интегральному соотношению Лейбензона:
г, - л
.,3 тт2
d
dx
Г fv'l U2 d /* dp Г f ( dvr \2
7.1 -ГаУ-~Г-7П7,1 vx dy !J- j dy.
0 0 0 0
(30.20)
Это соотношение может быть выведено также непосредственно из основных
уравнений Прандтля (29.9). В. В. Голубев указал, что из этих уравнений
можно получить даже ещё более общую форму интегрального соотношения.
В самом деле, умножая обе части уравнения
Ux дх ^ у ду р dx ^ ду2
на vkx и интегрируя после этого по у в пределах от 0 до о, получим:
/ + / V* ^dy =—у -g- fvKdy + ?V fv* dy.
О 0 0 0
Простые преобразования дают:
dvr 1 p dvk+l
о о
/ V< 7Гъ = ТТЛ-/Ь ТГ “v =
и*
о
6
/ -Ч , 1 С Ь + 1 ^ ^
М*> й) + Т+Т./
s> L_ />+
А + 1 Л + 1 .7 v ду а> ~
о
А + 1 ^ 1 * + 1
и
566
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
вследствие (30.4) и того, что можно принять vx(x, о
,k+l
dv.x
дх
dy + f vyv‘ i L
dv,
о
иь+1
k + :
kx^dy =
rr db dr . . k+2 Г
**аУ. +TTiJ
,i+I чг аУ'
Но ясно, что
6
dv
f
Jfe + 1
dx
~dy:
1 Г dvkx+2 d f vkx+2
k + 2 J dx dx J k-{-‘2 ^У
U
ki-2
db
k + 2 dx '
Далее, интегрирование по частям даёт, вследствие того что
(тОу=о = 0, —— 0, следующее соотношение:
\ °У 1у=8
/ vkx^fdy = -f kv^ dy.
0 0
Поэтому окончательно при любом положительном k получаем:
d
dx
„*+2
/v**г‘й U + d Г
F+1 йУ ~ Т+Т ~dx j vxйУ —
О О
б б
= -\^1<аУ-^/dy
dtf \ 8
dy. (30.21)
При k — 1 получаем, в частности, интегральное соотношение Лей-бензона.
§ 31. Уравнения теории пограничного слоя для сжимаемой жидкости.
Рассуждения Прандтля мы можем легко обобщить на случай сжимаемой
жидкости. Как и раньше, рассмотрим для простоты случай плоско-
параллельного течения и предположим отсутствие внешних сил. Уравнения
движения (4.8) примут вид:
dv.
(
Pll?
н-зг
' dv„
dvx 'Jjc dx dv., V-<~d7
i dv* \
+ v>~w)
dPx
dp
yx
+ V
dv у
y~dy
dx
dPxy
dx
+
dy ’ dPyy
dy ’
(31.1)
(31.2)
Sj 31] УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ДЛЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 567
причем по (3.4)
(31.3)
Уравнение неразрывности даст:
Введём вновь в рассмотрение 8 и I как в § 28. Если в уравнении (31.4) все
члены—одного порядка и если V есть характерная скорость рассматриваемого
течения (vx), то снова мы должны считать, что внутри пограничного слоя vy
имеет порядок И§//. Но тогда четыре члена правой части (31.1), содержащие
производные от скоростей по координатам
имеют соответственно порядок (к и р. имеют один и тот же порядок):
и мы должны оставить из них лишь один — третий — и записать вместо
первого уравнения:
Так же как и в несжимаемой жидкости, все члены левой части (31.5) имеют
один и тот же порядок pH2// и опять, по Прандтлю, мы примем, что pH2// и
рУ/82 имеют один и тот же порядок. Тот же порядок имеет член др/дх.
Обратимся теперь к уравнению (31.2). Порядок членов, содержащих
коэффициент вязкости и стоящих здесь справа, т. е. членов
V 1 ИЗ V ИЗ
^ / Ы ’ ^ "Р" ’
др
дх
будет
V Vb V V
Р 1Ъ ' V р ’ 1* в/2 > и-
соответственно. Максимальная из них рИ//8, а это, по принятому Уже нами
допущению Прандтля, всё равно, что рИ28//2, Таков же
568
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ггл. н
порядок членов, стоящих слева. Итак, др/ду имеет порядок рИ28//2, а
др/дх— порядок рV2jl. Отсюда заключаем, как и в случае несжимаемой
жидкости, что второе уравнение движения заменяется соотношением
? = 0. (31.6)
Уравнение неразрывности остаётся без изменения: др дрол. d$vv
dt ' дх ' ду
0. (31.7)
Посмотрим теперь, как видоизменится в пограничном слое уравнение притока
тепла (10.6).
В случае плоско-параллельного движения и при е = 0 уравнение
(10.6) перепишется в виде:
(дТ . дТ . дТ\ . (др , др . др\
