Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
пределов области АВВХАХ; количество движения этих частиц нужно причислить
к dxK. Наоборот, количество движения тех частиц, которые вошли внутрь
области АВВХАХ за время dt, надо вычесть из dxK или, что то же самое,
считая количества входящей в область жидкости отрицательными, нужно за
d2K принять количество движения, выносимое через контур АВВХАХ. Через ААХ
протекания жидкости нет совсем, через АХВХ выносится
(J pvx ? vx dy dt J ,
0 /x+dx
') К a r m a n, Ueber laminare und turbulente Reibung, Zeit. fur ang.
Math, und Mech., т. I, 1921, стр. 233—252.
560
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
через АВ\
о
Итого через АВ и АХВХ выносится количество движения жидкости
Ясно, далее, что через АХВХ и АВ вытекает количество жидкости
следовательно, такое же количество жидкости должно втекать через контур
ВВХ. Но на контуре ВВХ мы имеем равенство vx = U, ибо на границе
пограничного слоя КК скорость vx переходит в скорость U внешнего
потенциального потока. Итак, через ВВХ выносится количество движения
Итак, полное изменение количества движения рассматриваемой системы точек
равно:
Подсчитаем теперь импульс внешних сил. Прежде всего, на отрезке ААХ
действует сила трения, величина которой, отнесённая к единице площади,
равна
причём знак минус берётся потому, что т0 есть напряжение на стенке, а нас
интересует сейчас обратная по направлению сила воздействия на частицы
жидкости. Умножая предыдущее выражение на величину
о
о
о
и, значит,
d2K — jy- f pv2x dy dt dx — U
о
d
dx .
j' pvxdy dt dx.
о
(30.10)
5 )П] ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ КАРМАНА И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 561
площади 1 • dx и на промежуток времени dt, получим выражение импульса
силы трения
— x0dxdt — — p. dxdt.
'• °У /у=0
Мы имеем, далее, силы давления, приложенные к АВ, ВВХ и АХВХ
(соответствующими силами вязкости можно пренебречь). Проекции этих сил на
ось Ох равны соответственно
{рЪ)х, р ds ? ~ = р dl, -~{pb)x . dx = — (pb)x — d(pb), (30.11)
где ds = BBx и dbjds есть синус угла, который ВВХ составляет с осью Ох.
Сумма этих проекций равна
{Рь)х -\-pdb — (рЪ)х — d (рЬ) = — ldp = — b~dx,
импульс же этих сил будет равен
— 8 dx dt.
ox
Приравнивая dK полному импульсу всех сил — x0dx dt — 8 dx dt, приходим к
требуемому равенству
б 8 8
/ ^ ~W аУ ~Jx f U ~дх f PVx аУ ~ то 8 • (30.12)
ООО
Если теперь воспользоваться формулами (30.10) и (30.3), то получим
соотношение
я / <!у Г / К d'i - U J-J ГУ, «У - fU =
= <30л3)
т. е. мы вновь докажем формулу (30.6).
Придадим полученному интегральному соотношению ещё иную форму, а именно
такую, в которую входят интегралы по у, взятые по всему бесконечному
интервалу от 0 до со. В этом случае, чтобы
обеспечить сходимость интегралов, надо рассматривать вместо vx
его отклонение от предельного значения U, а именно пусть будет
U — vx — q, (30.14)
36 Теоретическая гидромеханика, ч. II
562
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. и
тогда будем, очевидно, иметь:
j v2xdy = J (U2 — 2qU ~\-q2) dy — U4 — 2U J q dy + j q2 dy,
0 0 0 0
'j
f vx dy = § (U —q)dy = Ub— § q dy,
0 0 0
поэтому равенство (30.13) принимает, после простых вычислений, форму:
8 l?—3t.h dy+w ш f ч йУ~2 ж Л dy + i f ЧЧУ=
О 0 00
— —1 дР yf dv*)
Р дх \ ду )У=0 •
Но для потенциального течения мы имеем соотношение
%+“ъГ = -\%- 00.15,
являющееся следствием первого из уравнений гидромеханики идеальной
жидкости.
Поэтому в предыдущем уравнении члены, содержащие множителем 8, взаимно
сокращаются. В оставшихся членах мы можем положить 8= оо, тогда получим
точное равенство:
СО со оо со
f qdy+U-^f qdy+2^1 qdy—^fq*dy =
0 0 0 0
= ' <3016)
В стационарном случае пропадает первый член левой части равенства
(30.16), и уравнение это принимает вид:
ОО со оо
"ж/ <,dy+2U'f,dy —А/f-dy = f. (30.17)
0 0 0
Введём вновь толщину вытеснения по формуле (30.1), а также некоторую
длину 8**, которую называют «толщиной потери импульса»:
д_
dt
ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ КАРМАНА И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 563
Тогда, так как
со
со
оо
0
0
0
и
оо
со
CO
/ q2dy = f (U~vx)qdy = uf qdy-U*f%-( 1 -fydy
— U4* — U2b**,
мы найдём, после простых вычислений:
(30.18)
Эта форма соотношения Кармана была предложена Прандтлем. Мы воспользуемся
ею в приближённой теории пограничного слоя.
Л. С. Лейбензон указал, что можно получить интегральное соотношение,
аналогичное соотношению Кармана, исходя из закона энергии '). Приведём
вывод интегрального соотношения Лейбензона для случая установившегося
движения. Вырезая, как выше, из пограничного слоя объём жидкости,
ограниченный ординатами АВ и А1В1 (рис. 176), для живой силы этого слоя
будем иметь выражение:
ибо составляющая vy очень мала по сравнению с vx. Изменение за время dt
живой силы частиц, составляющих вырезанный объём, слагается Из живой силы
Ср
(30.19)
о
выносимой через AXBV живой силы
о
') Лейбензон Л. С., Энергетическая форма интегрального условия в теории
пограничного слоя, Труды ЦАРИ, вып. 240, 1935.
564 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. и
выносимой через АВ, и живой силы
