Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
идеальной жидкости. Только вблизи стенок происходит очень быстрое
изменение скорости от значений, соответствующих потенциальному потоку
идеальной жидкости, до нулевых значений, требуемых условиями прилипания
вязкой жидкости к стенкам. Обратим внимание на то, что сходящееся течение
в диффузоре происходит в направлении падения давления. В то время, как
при малых числах Рейнольдса сходящееся и расходящееся течения в диффузоре
имеют одинаковый характер, при больших числах Рейнольдса течения носят
совершенно различный характер, а именно, сходящееся течение всюду, кроме
непосредственной близости стенок, мало отличается от потенциального
течения, расходящееся же течение резко отличается от потенциального
течения.
Рис. 161.
РЕШЕНИЕ ГАМЕЛЯ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ
475
§ 18. Решение Гамеля и его обобщения. Течение в диффузоре, рассмотренное
нами в предыдущем параграфе, является частным случаем гораздо более
общего точного решения уравнений гидромеханики вязкой несжимаемой
жидкости, которое мы сейчас и рассмотрим. Движение жидкости мы будем
предполагать плоским, стационарным и происходящим под действием сил,
имеющих потенциал.
В § 8 было показано, что в этом случае проекции
скорости
могут быть выражены через функцию тока ЧГ (х, у):
v* = -57' Ъ = О8-1)
которая удовлетворяет уравнению
ду дх дх ду v '
Введём теперь вместо х и у криволинейные координаты <р и
%,
которые мы выберем таким образом, чтобы выражение
т=ср(х, у) + г'х(х, у)
было аналитической функцией от
z — x-(- iy.
Итак,
9+ *Х =''(*). (18.3)
так что <р(х, у) и х(х< У) удовлетворяют уравнению Лапласа
Дср = Дх=0. (18.4)
Смысл этого преобразования состоит в следующем: составив
уравнение для W в переменных <р и -у, мы можем затем отыскивать решение
этого уравнения, зависящее, например, только от ср. Ясно тогда, что
линии тока нашего движения вязкой жидкости будут
совпадать с линиями ср = const., т. е. линиями тока некоторого
потенциального движения, хотя само движение не будет потенциальным, если
вихрь 2 = — ДЧ- будет отличным от нуля.
Прежде всего преобразуем к новым переменным выражение
л дг _ | W
дх2 ‘ ду2
При этом мы будем для отчётливости пользоваться временно
следующим обозначением:
9 д<?2 ^ д-i2
Составим теперь производную
_ Фр _ ,
dz дх ду ду ' дх
476
движение вязкой жидкости
[ГЛ. П
и обозначим через Q квадрат её модуля:
? т+т-т+т
_ ду дх д<? дх _ D (<?, х)
Не
(18.5)
дх ду ду дх D (х, у)
Простое вычисление показывает, что
Ш = Q ДД. (18.6)
Левая часть уравнения (18.2) может быть представлена в виде якобиана:
64’ dAW aw dAW __ D (AW, W) ду дх дх ду D (х, у) '
но, как известно, для якобианов имеет место правило дифференцирования
сложных функций:
D (AW, W) D (AW, W) D (f, х) ^ D (AW, W) „ D (Q A9W, W)
: V п ..ч — Q
D (х, у) ~~ D (<?, х) D (х, у) ~~ D (<?, х) D (а, 7)
Поэтому уравнение (18.2) принимает следующий вид: a(QA„w)aw a(QA„w)aw
Щ <4 а? = v дч> ^ д? (18-7)
Поскольку теперь мы будем рассматривать все функции зависящими от ср и х,
не будем больше писать значок ср при обозначении лапласиана Д.
Производя дифференцирование всех членов уравнения (18.7) и деля все члены
его на Q, мы придём к равенству:
/ain Q aw a in q aw\ . aAwaw aAwaw \ df Ox dy df) ' df дх a у df
+ 2^^ + ^Д1’]. (18.8)
Функция \n(dzjdz) есть аналитическая функция от z и,
следовательно, от т. Вещественной частью этой функции
является, как
известно,
dz dz
In
= ln/Q = ilnQ.
Отсюда мы заключаем, что, во-первых, In Q есть гармоническая функция, т.
е. удовлетворяет уравнению Лапласа
Д In Q = О (18.9)
и, во-вторых, имеем равенство
4|п« .4'“«
|П г~— -----*--------I
d~ dz ду d’i
§ 18] РЕШЕНИЕ ГАМЕЛЯ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 477
Введём теперь обозначения
^Я^а, (18.10)
тогда мы будем иметь
’1тУш = “+‘ь- <18Л1>
Заметим ещё, что
,,.П д (d\nQ\ \ д (д\п Q\_
д /1 dQ\ , д /1 dQ\ __
\Q ду) ' dx\Q дх)
Поэтому равенство (18.9) даёт нам, если принять во внимание ещё
(18.10), что
Щ.= а?-\-Ь2. (18.12)
Итак, уравнение (18.8) принимает следующий окончательный вид:
V
[ ДДЧ' + 2а - 2Ь + (я2 + *2) дт] =
/ <э\г . йдч-ач д№ dw ,1Й|Ч,
(18ЛЗ>
Достаточно решить это уравнение для каких-либо гармонических сопряжённых
функций а (ср, у) и Ь (ср, у), чтобы получить некоторое точное решение
уравнений движения вязкой жидкости.
Мы примем, что а и b суть постоянные величины. Интегрирование уравнения
(18.11) даёт нам в этом случае, что
. dt аЛ-ib . . _
1п^ = Нг-х+1пС’
откуда
. a + ib
* Св“\ dz
Разделяя переменные и ещё раз интегрируя, найдём:
2 х
С^г-г^-^^е 2 ,
или, наконец,
?* = ?-НХ= — JTfTi1" (~z~ 2о)‘ (18.14)
478
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
2
(гл. и
Здесь положено для простоты С = — a + ib ’ чт0 нисколько не вредит
общности рассуждений.
Вводя полярные координаты
— reib (18.15)
и разделяя в (18.14) вещественную и мнимую части, получим:
2 (a In г -f- 60) а2 + 62
1-
2 (6 In г — ад) я2 + 62
(18.16)
Очевидно, что кривые <р = const, и х = const, образуют два семейства
логарифмических спиралей, ортогонально пересекающих друг друга (рис.
