Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
быть
А = ±. (16.7)
Итак, мы окончательно получаем следующее решение нашей задачи:
(16'8)
Мы имеем далее, из равенств (16.6) и (16.7), следующее выражение для
циркуляции скорости по окружности радиуса г с центром в начале координат:
(
Тг = Т\\—еы). (16.9)
Но так как Гг = 2izrv, то
v^~{ 1 — (16.10)
ДИФФУЗИЯ ВИХРЯ
453
Легко, впрочем, проверить и непосредственной .шдыанивпил, что функция
(16Л0) удовлетворяет уравнению (16.2). Очевидно далее, что при /—>0 мы
имеем предельное равенство
lirn v (г, =
t -? 0 /5ТГ
так что удовлетворены и начальные условия (16.1).
Исследуем полученное нами решение задачи о диффузии вихря. Формула (16.8)
показывает, что вихрь, сосредоточенный в начальный момент времени в
начале координат, с течением времени всё более и более расплывается. При
этом видно, однако, что наибольшая завихренность будет в том месте, где
первоначально находился вихрь; по мере удаления от этого места
завихренность очень быстро падает. Чтобы численно охарактеризовать
расплывание вихря, найдём, как изменяется с течением времени радиус той
окружности с центром в начале координат, которая содержит внутри себя
половину всех вихрей, иными словами, радиус г той окружности, циркуляция
по которой равна l/2T. Формула (16.9) показывает, что г должно
определяться равенством
—— 1
р 4vf — _
е ~ 2’
откуда
г — 1,665 (16.11)
Простое исследование Q показывает, что завихренность в данном месте
возрастает с течением времени от нуля до максимума, равного
2тах = Л- (16Л2)
не
и затем опять падает до нуля.
Рассматриваемый пример является чрезвычайно характерным для динамики
вихревого движения в вязкой жидкости. Он показывает, что основной
тенденцией внутри вязкой жидкости является выравнивание завихренностей
различных частиц жидкости. Наоборот, мы увидим далее, что в
соседстве с ограничивающими жидкость стенками
вязкая жидкость обладает, по сравнению с идеальной жидкостью,
резко выраженной вихреобразующей способностью.
Рассмотренную нами задачу можно значительно обобщить. А именно, вместо
того частного распределения скорости в начальный момент времени, которое
даётся формулами (16.1) и соответствует случаю сконцентрированного вихря,
рассмотрим произвольное распределение скорости v в начальный момент
времени
v{r, 0) — v0 (г). (16.13)
454
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. II
Начальное распределение вихря даётся в этом случае формулой:
2(r, 0) = Q0(r)=I-^g^. (16.14)
Но, как мы видели выше, искомая нами функция 2 (г, t) удовлетворяет
линейному дифференциальному уравнению
дО. ДГ1 (д2Я , д20.\
vAQ~'*\dx2 + <Эу2Г
Поэтому сумма отдельных частных решений этого уравнения тоже будет его
решением. Но заданное начальное распределение вихря можно заменить
бесчисленным множеством отдельных сосредоточенных вихрей; для этого
введём на плоскости цилиндрические координаты R, X и положим, что на
элементе RdRdl плоскости находится сосредоточенный вихрь интенсивности
Q0(R) RdRdl. (16.15)
Обозначим через и расстояние между точками (R, X) и (г, 0), так что
и1 = R2 -(- г2 — 2Rr cos X.
Тогда по формуле (16.8) получим, что от вихря (16.15) в точке (г, 0) в
момент t получится завихренность:
Ц*) * е~Ш dRdl = ЬЩ * Г**™— dR ^
4тт 4л vr
Интегрируя это выражение по всем R и всем X, мы и получим требуемое
выражение вихря:
р Rz+r‘!-2Rr cos А
= 4,< RdRdX- (16Л6) о 0
Но, как известно из теории бесселевых функций, мы имеем *):
2%
f C°S X dl = 2 tJq = 2ir/0 (g-) .
о
Поэтому
2
') См., например, Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 (1939), стр.
679 и 688.
§ 16] диффузия вихря 455
Так как v(r, t) связано с 2 (г, t) формулой
v(r, f) = ~ J Q (г, t)
г dr,
то для определения скорости v отдельных жидких частиц находим равенство:
00 я* т г*
v(-r’^ = 2^tf 9о (R)e~^Rf re'^I0{^jdrdR. (16.18)
о о
Формулы (16.17) и (16.18) полностью решают поставленную нами задачу о
плоском движении вязкой жидкости, в котором все частицы двигаются по
концентрическим окружностям.
Рассмотрим теперь два конкретных примера.
Примем сначала, что в начальный момент времени завихренность равна нулю
всюду, кроме круга радиуса а с центром в начале координат, в точках
которого завихренность имеет постоянное значение 20. Мы должны, таким
образом, принять:
Qi)(R) = const. = 20 Для 0 1
Q0(R) = 0 » R>a. } (16Л9)
Ясно, что мы получили задачу о диффузии вихря конечных размеров,
интенсивность этого вихря равна, очевидно,
Г — иа220. (16.20)
Применяя формулу (16.17), мы найдём распределение вихрей
в любой следующий момент времени:
2<г* ') = Й-е~^1 е”4ЛГ/о (16'21>
о
Преобразуем эту формулу к другому виду, более удобному для численных
вычислений.
Введём прежде всего безразмерные переменные, полагая
а2 __ г2 _ R2 .
4~it ’а’ 4')t 4v/
тогда будем иметь
а
2 (г, О=20«_р / е-Чй{2 /рС)Л. (16.22)
456
ДВИЖЕНИЕ вязкой жидкости
[ГЛ. II
Воспользуемся теперь первой из следующих основных формул в теории
бесселевых функций ,):
-ТП7 du
h
& = (j Y f е“ 4Uu~k~'ldu (k=±\. ±2, . ..),
