Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений гидромеханики, определяющего течение в диффузоре, т. е. в
расширяющейся трубе.
Мы будем разбирать, следуя в основном Гамелю 1), только плоскую задачу,
т. е. будем изучать движение вязкой жидкости между двумя плоскими
стенками, наклонёнными друг к другу под углом а. Естественно
предположить, что движение будет чисто радиальным (рис. 160). В
соответствии с этим возьмём уравнения гидромеханики в цилиндрических
координатах (5.14) и поставим себе задачей найти точное решение этих
уравнений следующего вида:
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
ОА
0,3
0Z
0,7
о
Распределение скорости в этом случае определяется формулой, вытекающей из
(16.18) на основании сделанных предположений:
v (г, t) =
о
(16.34)
Но выражение в правой части с точностью до перемены обозначений (20 =
Г/2т:г, а = г, г — а) совпадает
0,6 1,0 7,5 ZJ9
Рис. 159.
^ с правой частью формулы (16.21). А тогда ясно, что, производя ту же
самую перемену обозначений в формулах (16.29), мы получим для рас-
(16.35)
Vr = V (г, в), Vil — Vz = 0.
') Hamel О., Spiralformige Bewegungen zaher Fliissigkeiten, Jahres-
bericht der deutschen Mathematiker Verelnigung, 25 (1916), стр. 34—60.
§ 17!
ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРЕ
461
Уравнения (5.14) дают при этих условиях следующие равенства:
dv 1 др I (д2у | 1 d2v , 1 dv tA
СС'
. . 1 др . fd2v . 1 d2v . 1 <
V dr p dr ' V I, dr2 ' r2 dS)2 ' r dr
n \ др ,2ч dv
d(rv)
dr
0.
Последнее из этих уравнений показывает, что
rv(r, 6) = и (6).
(17.1)
(17.2)
Очевидно, и (6) даёт нам распределение скоростей в единичном расстоянии
от начала координат.
Среднее из равенств (17.1) приводит теперь к равенству
др 2р du
Ж — 'г2 М ’
откуда следует, что
2н.
Р(Г, 6):
“(0) + / (О-
Наконец, подставляя это выражение для р в первое уравнение
(17.1), легко найдём следующее дифференциальное уравнение для определения
функции и (0):
4й_(-
и2 f (г) г3
V Ц
откуда видно, что как левая, так и правая части являются постоянной
величиной. Итак,
откуда
Г (Г) = %,
/(0 = -^ + ^
и окончательно
2:
Р(г. 0) = ^[«(в)-5] + С1. (17.3)
С другой стороны, и (б) должно удовлетворять уравнению
и"-+ 4а + — — С = 0, (17.4)
Рис. 160.
которое легко интегрируется в квадратурах. А именно, умножив предыдущее
уравнение на и', мы можем после этого просто его
462
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ жидкости
[ГЛ. И
проинтегрировать; в результате получим:
^2 + 2«2-Ь^-С«-С2 = 0.
Решаем это уравнение относительно и':
а' = %= — /(— “3 — 6vh2-j-3vCm-)-3vC2), разделяем переменные и
интегрируем:
1Г|-0=± f —— du__. . (17.5)
У 3v J у— ui — _|_ 2,чСи + 3vC2
Если воспользоваться эллиптическими функциями, то можно дать явное
выражение зависимости и от 6. А именно, переписываем предыдущее равенство
в виде:
/0 Р da
= ± J -f- 24vm^=T2vC« — 12vC2 ^17'6^
/6'
и полагаем
и (0) = —2v -f- Kj (6).
Тогда
йи = duv 4u3 —(— 24vm2 — 12vCm — 12vC2 — 4«^ — g2u1 — g.
3!
где g2 и g2 — новые произвольные постоянные.
Если значение 6 при и = со есть 0О (конечно, 0О может оказаться
комплексным числом), то, как следует из (17.6):
“1
*/?
/(в-во) _ .4. Г
K6v J f 4и3
&2и1-?з
Таким образом, 0 является известной функцией от их и, обратно, «! будет
известной функцией от 0. Эта последняя хорошо исследована, а именно, она
непосредственно выражается через эллиптическую функцию $ Вейерштрасса.
Итак,
* (0 — 90)
" Зд §3
и, значит,
“' = ?( кн
и (6) = --2-J + f • gi. g3)• (17-7^
ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРЕ
463
Остаётся исследовать полученное решение, представленное формулами
(17.5) и (17.7). Последняя из этих формул содержит три
произвольных постоянных: б0, g2 и g3, для определения которых мы имеем
как раз три условия. Прежде всего на стенках диффузора, уравнения которых
пусть будут 0 = ±а/2, должно выполняться условие прилипания жидкости к
стенкам:
и(±!) = 0. (17.8)
Кроме того, мы должны выразить ещё условие, что через любое поперечное
сечение диффузора в каждую единицу времени проходит определённый объём
жидкости. Этот объём выражается, очевидно, формулой:
а а
2 *2
Q— J v(r, 0)-rd8 = f и (0) dd. (17.9)
а а
~~2 ~~2
Величину Q мы будем называть обильностью источника и будем считать её
заданной. Если Q положительно, мы имеем дело с источником, т. е. с
расходящимся течением в диффузоре; если же Q отрицательно, то мы имеем
дело со стоком, т. е. со сходящимся течением.
Итак, для определения трёх произвольных постоянных 0О, g2 и gз мы
получили три уравнения (17.8) и (17.9). Кроме того ясно, что искомая
функция и (0) не должна обращаться внутри промежутка (—а/2, а/2) в
бесконечность. Мы не будем в полном объёме решать вопрос о том, имеет ли
поставленная нами задача решения и, если имеет, то сколько будет этих
решений и каков будет их характер. Нашей главной задачей будет показать,
что сходящиеся и расходящиеся течения в диффузоре имеют при некоторых
условиях совершенно различный характер.
Целесообразно при этом сразу же ввести в рассмотрение безразмерные
величины. Основной безразмерной величиной является, как
