Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда выражение (3.1) принимает вид
t ~
<z {t) Rt [z (x)]> = "0 ^ dh exp {- 2v (t - tj} • (3.3)
Поскольку для описанной выше задачи вариационная производная bRtJbz (h)
выражается через сам функционал Rtl, получаем, что среднее значение
величины в правой части (3.3) связано с одновременными средними
функционала Ru.
Формула (3.3) существенно упрощается для линейных систем. В этом
случае функционал Rt линейно зависит от Rtl [z (х)] и величина dRt/dRtl
является функцией Грина для системы уравнений в случае отсутствия
флуктуаций, т. е. при z - 0. В результате получается замкнутое уравнение
для <-/?<). Это уравнение было получено ранее в работе [18].
f- Для стохастических уравнений, содержащих случайный телеграфный процесс
z (t) линейным образом, удобно пользоваться также другим приемом,
основанным на формулах дифференцирования корреляций функционалов
марковских процессов (формула (2.5.16)) [46]:
-Jf <Z (t) Rt [z(x)]> =
/ dR, lz (т)! v
= - 2v <z (t) Rt [z (t)]> f \ z (t)--ft-у • (3-4)
Покажем, как использовать ее для анализа стохастических уравнений.
Рассмотрим систему операторных уравнений
~ = Ail(t)xj + z(t)Bi:i(t)xj, х (0) = х0 (3.5)
(2 = 1,..., п), где А, В - некие детерминированные операторы, которые
могут быть операторами дифференцирования по вспомогательным переменным.
Если А, В - просто матрицы, то (3.5) описывает случай линейных
динамических систем.
122
Усредним уравнение (3.5) по ансамблю случайных функций
2 (t). В результате получим уравнение
<^> = А и <х,-> + Bij-tyj, (х (0)) = х0, (3.6)
где введены новые функции ij1; = (z (0 xi (?)У- Для функций т^г-можно
использовать формулу (3.4); в результате получаем равенство
1Г1М*)= -2v% +<(s(0 ~у>. (3.7)
Подставляя теперь dxi/dt из (3.5) в (3.7), получаем уравнение для функций
ij); (i ~ 1, . . ., га):
{тг + 2vi ^ = ^ <z'2 ^ Xi')- <3-8)
Учитывая теперь, что для телеграфного процесса z2 (t) = а2, получаем
окончательную систему уравнений:
4г\хд = <*.;> -г <ж (0)> = ж",
, d , . (3-9)
(if + 2v) ^ = Aij^j + a?Bi! <-х^' ^ ^ = <z ^ Xi
Система уравнений (3.9) - замкнутая система двух линейных уравнений для
векторов (х) и г|з. Если операторы А и В - матрицы, не зависящие от
времени, то система (3.9) может быть легко решена с помощью
преобразования Лапласа. Пусть для определенности <z (0)> = 0. Тогда ip
(0) = 0 и преобразованная по Лапласу система (3.9) является
алгебраической системой уравнений
(рЕ - A) (х (р)> - В\j) (р) = х0, (3.10)
t(jD + 2v) Е - л]г|) (р) - а2В <ж (р)> = 0,
где Е - единичная матрица.
Отсюда получаем решение <,е (р)У:
(х (р)> = [(рЕ - А) - а2В - 2vj-EzrA- ljco- (зл1)
Рассмотрим теперь нелинейное одномерное уравнение
^ = f(x,t)i-z(t)g(x,i), х(0)==х0. (ЗЛ2)
Вводя функцию ф; (х) = б (х (t) - х), получаем для нее стохасти-
ческое уравнение Лиувилля:
t)<ft(x) - z(t)'§jg(x, t) yt(x). (3.13)
Уравнение (3.13) является линейным уравнением типа (3.5), в котором Л и В
- линейные дифференциальные операторы. Усредняя
123
(3.13) по ансамблю случайных функций z (t) и действуя, как при выводе
системы (3.9), получаем замкнутую систему уравнений для плотности
вероятностей решения уравнения (3.12) Pt (х) =
где lF( (я) - (t) ф( (ж)>. Начальными условиями для систе-
мы (3.14) являются условия
Стационарное распределение вероятностей, если оно существует,
удовлетворяет уравнениям
(Здесь введены обозначения / (х, оо) = / (ж), g (х, оо) = g (х).)
Исключая функцию Ч'1,, (х) из (3.16), получаем дифференциальное уравнение
первого порядка
решение которого удается выписать в виде квадратуры [20]:
где положительная постоянная С определяется из условия нормировки.
Отметим, что при v ->¦ °о из (3.18) следует распределение
отвечающее гауссовскому дельта-коррелированному процессу в соответствии с
результатами § 6 гл. 2 и формулой (3.4.24)'.
Чтобы увидеть, как может влиять конечность радиуса корреляции процесса
z (t) на динамику системы, рассмотрим простой пример, соответствующий g
(х) - 1, / (х) = - х, а2 = 1 *). В этом случае получаем из (3.18)
распределение вероятностей
= <Ф" (я)>:
ЭР
д_
дх
д
f(x, t)Pt -JLg(X, г)
(3.14)
¦/(ж, - a'~d^s(x, t)Ph
dt
t dx
Pо (X) = <5 (x - ж0), Чг0 (x) = <z (0)> P0 (X).
(3.15)
f (x) Px (x) = -g (x) Too (x),
[2v -a'2|rgW^oo(l).
(3.16)
l^Lp<x(x)=,a2~g(x)P,x(x), (3.17)
a-g2 (x) - /2 (.г)
