Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
11 1л
N
случае среднее значение решения системы уравнений
N
х = Ах + ^ zi(t)zk(t) Sx,
i^=k
x{Q) = x0 (3.50)
Рис. 12. Схема разбиения
индексов в сумме (3.51).
будет входить в замкнутую систему [Л72] + 1 векторных уравнений для
функций (t) = <zi(i) ... z2n (t) х(ф [22]. Функции i|5n (t) будут,
очевидно, удовлетворять уравнениям
iw + 2ап) ^ ~ ^ (*) =
N
= в
(3.51)
^(t). . . zin{t)y?Jzi{t)zK(t)x{t)/
г^к
Далее будем действовать аналогично выводу системы уравнений
(3.49). Разобьем сумму по i и к в правой части (3.51) на четыре области
(рис. 12). В области (1) две функции zt zK будут "погашены"
соответствующими функциями из произведения Z\(t) . . . z2n(t). Учитывая,
что таких членов будет 2п (2п - 1), получаем для области (1) правую часть
(3.51) в виде
2п (2п - 1) <z2>2 (0- (3.51а)
132
Аналогичным образом в области (2), где не происходит "гашения" функций
zi(t), z:;(t), получаем соответствующий член в правой части (3.51):
(A - 2n)(N - 2п - 1) (t). (3.516)
В областях же (3) и (4) будет "гаситься" одна из функций zt(t), z^(t).
Учитывая, что число таких членов 4n(N - 2п), получаем соответствующее
выражение в правой части (3.51):
4n(N - 2п) <za> 5ijJ"(i). (3.51в)
В результате уравнение (3.51) принимает вид замкнутой системы
рекуррентных уравнений:
\[-§t + 2ап)Е- A -4n(N - 2n) <z2> =
= 2п (2п - 1) <z2>2 .?%,_! (i) f (N - 2п) (N - 2п - 1) (t),
(3.51')
Г N '
где п = 0, 1, . . ., - .
Решение системы (3.51') при постоянных матрицах А и В также,
очевидно, записывается конечным отрезком цепной дроби. Простейшие
аппроксимации N = 2 и N == 3 приводят к замкнутой системе двух векторных
уравнений. Отметим, что при одном и том же "порядке точности" - заданном
значении N - порядок системы (3.51') примерно вдвое ниже порядка системы
(3.49). Поэтому, если мы зададим порядок системы, то (3.51') будет ближе
к своему предельному решению, чем (3.49). Аналогичная ситуация имеет
место и в случае / (z) = zk. Для нечетных значений к получаем замкнутую
систему N + 1 векторных уравнений, а при четных к - систему [А/2] + 1
уравнений. Однако при /" ]> 3 эти системы уравнений не сводят решение
задачи к цепной дроби, так как они являются рекуррентными равенствами
более высокого порядка, чем
(3.49), (3.51').
Процесс (t) = zi(t) + • • • + zx(t), где z;(<) - независимые
телеграфные процессы, является частным случаем марковского процесса z (t)
с конечным числом состояний.
Пусть в общем случае возможные значения процесса z (t) есть Zj, . .
., z". Тогда, как показано в первой главе, все реализации процесса z (t)
удовлетворяют тождеству
zn(t) = (zj + ... + zn) z,l_1 (<) + ... + (-1)"-1 Z\... zn. (3.52)
Следовательно, и теперь среднее значение решения системы
х = Лэс + z (t) Вх (3.53)
будет удовлетворять замкнутой системе уравнений. В самом деле, усредняя
уравнение (3.53) и применяя последовательно формулу (2.5.25) для
корреляций <zfr(i) sc> (к = 1, . . ., п - 1), прихо
133
дим на последнем шаге к функции <zn (t) ж (t)y, которая, согласно
(3.52), выражается через функции предыдущих шагов, т. е. по-
лучаем замкнутую систему векторных уравнений п~то порядка.
В качестве иллюстрации рассмотрим процесс с двумя состояниями Zi, z2 и
вероятностями перехода между ними v и jx. Тогда равенство (3.52) примет
вид
z2(0 = (zi + z2) z (t) - ZiZ2. (3.52')
Усредним уравнение (3.53):
(E^-A]{x) = B<z(t)x). (3.53')
Для корреляции <z (t) x'), согласно формуле (2.5.9), имеем ~ (z (t) x} =
(z (t) x (t)> + <x (t) (Ltz (*))>,
где оператор L\ описывается матрицей
- v v |0. -10. '+
Учитывая, что действие оператора Lz на z (t) можно представить в виде
Ltz =
--- V V II Ч --- v (Z! --- z2)
Iх -И-II н (X (гх --- z2)
= (^гг + iizj) - (JA -f v) z (t),
уравнению для корреляции (z (t) xJy удается придать вид (-¦ + ^ + v j A
(zi -f z2) <z (t) x> =
= {(vz2 -f- ц-zj) E - zxz2 В} <ж>. (3.53")
Уравнения (3.53'), (3.53") являются замкнутой системой двух векторных
уравнений.
Отметим, что в частном случае скалярного уравнения с параметрами А =
О, В (t) = iv (t) уравнение (3.53') описывает характеристический
функционал процесса z (t). Исключая из системы (3.53'), (3.53") функцию
<z (t) х >, мы получаем дифференциальное уравнение для
