Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
(иг) с <ы>, но и (щ) с <Ui)>. Это обстоятельство позволяет оценить
условия применимости диффузионного (первого) приближения в тех случаях,
когда точное решение неизвестно.
Хотя рассмотренный пример и не может служить доказательством
сходимости развитого метода последовательных приближений, оп позволяет,
однако, надеяться, что имеет место достаточно быстрая сходимость.
Отметим, что в ряде случаев развитый метод удается довести до конца, т.
е. получить бесконечную систему зацепляющихся уравнений [19, 45],
которую, в свою очередь, иногда можно решить и получить для решения
задачи выражение в виде бесконечной цепной дроби (см. следующую главу).
Выше мы рассматривали стохастические уравнения и переход к
приближению дельта-коррелированных флуктуаций для параметров системы. В
этом приближении решение задачи является
111
марковским процессом с соответствующим уравнением (вообще говоря,
операторным) для плотности вероятностей перехода.
Однако для ряда стохастических уравнений и для некоторых конкретных
типов случайных процессов удается построить замкнутое описание таких
задач и без перехода к дельта-коррелирован-пому приближению. Это
позволяет проследить, во-первых, влияние радиуса корреляции на динамику
системы и, во-вторых, влияние самой модели флуктуирующих параметров на
статистические характеристики решения задачи. Подобные вопросы будут
рассмотрены в следующей главе.
В заключение данной главы отметим следующее обстоятельство. В
предыдущем рассмотрении мы ограничивались случаем, когда начальные
условия для динамических систем являются либо детерминированными
величинами, либо случайными величинами, статистически не связанными с
флуктуирующими параметрами. Если же печальные условия являются
функционалами от флуктуирующих параметров, то анализ задачи может
существенно усложниться.
Г л а в а 4
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С КОНЕЧНЫМ РАДИУСОМ КОРРЕЛЯЦИИ
§ 1. О некоторых классах стохастических уравнений, допускающих
замкнутое статистическое описание
Рассмотрим задачу Коши для стохастической системы уравнений
-~- = z(t)g(t)Fi(x) (г = 1, . . . , А'),
*(0) = *о, (1Л)
где g (t) и Ft (ж) - детерминированные функции, аг(1) - случайный
процесс, статистические характеристики которого описываются
характеристическим функционалом
t
Ф; [v (|)] = <^ехр (i dl z (I) v (?)})> = exp {0* ]v (?)]}.
(1.2)
0
Уравнения (1.1) обладают особенностью, позволяющей решить задачу о
нахождении статистических характеристик их решения [21]. Дело в том, что
если ввести новое "случайное" время
t
т = (dlz(l)g(l),
(1.3)
О
то уравнения (1.1) примут форму "детерминированных" уравнений
-~- = Fi(x), х (т = 0) = аг".
(1.1')
Следовательно, решение системы (1.1) имеет вид
(
xi(t) = xi(x) = xi dlz(Qg(Q). (1.4)
о
Варьируя (1.4) по г (I) и используя (1.1), получаем равенство
бж, (<) s (Z) dx¦
"Ъг (Е.) = z(t)g{t) dt - ? (ж (*))• (I-
5)
Таким образом, вариационные производные решения х (t)
выра-
жаются через решение в тот же момент времени. Это позволяет
113
сразу написать замкнутые уравнения для статистических характеристик
задачи (1.1).
Получим уравнение для одноточечной плотности вероятностей
где усреднение производится по ансамблю реализаций процесса z (t). Для
этого напишем стохастическое уравнение для функции <Pt (ж):
фо(ж) = б(ж - х0)
(по повторяющимся индексам предполагается суммирование). Усредним
уравнение (1.7), тогда
Рассмотрим теперь действие оператора S/Sz (?) на функцию Фt {х).
Используя формулу (1.5), получаем выражение
Следовательно, уравнение (1.8) можно переписать в виде замкнутого
операторного уравнения:
конкретный вид которого определяется характером процесса z (t).
Для двухвременной плотности вероятностей аналогичным образом получаем
уравнение (для t tj)
где функция Ри(хх) удовлетворяет уравнению (1.10). Из уравнения (1.11)
видно, что многовременная плотность вероятностей не допускает
факторизации через плотность вероятностей перехода и, следовательно,
процесс x(t) не является марковским.
Если процесс z (t) гауссовский с характеристиками
Л (¦*) = <Ф( (¦")>, ф4 (х) = б (JC (t) - ос),
(1.6)
дЧ>, (ж)
(1.7)
dt
(1.8)
b (х (t) ~ х) = - g (I) Fi(x) (ft(x).
