Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
статистическое описание для произвольных случайных процессов, не
известны.
В предыдущей главе мы рассмотрели асимптотический случай,
соответствующий предельному переходу т0 -v 0, где т0 - время корреляции
случайного процесса z (t) (приближение 6-коррелиро-ванного случайного
процесса). Рассмотрим теперь другой предельный случай: т0 -v со, который
можно назватьстатическим приближением. В этом приближении
характеристический функционал процесса z (t)
dt
- Ащ (t) x};3° -\
с начальным условием
3й (х, tx\ хх, tx) = 8 (х - хх) Pit(xi),
(1.27)
[v (t)] = - ^ dxx ^ dx^BV} Ы, ta) Vi (Tx) Vj (t2)
0 0
dPx (sc)
dt
t
+ ^ dx Bi^t, x)Gki{t, t)Gl}{t, x) -^-d-/pt{x).
(1.28)
0
0
принимает вид
Ф( [у (т)] = ф4 Ы (01 = <ехр {iz% (0}>,
(1.29)
t
где x (t) = I" dx v (t), a z является случайной величиной, кумулян-
о
ты которой определяются выражением
Kn = \imKn(t1, . . . , tn). (1.30)
X -* ос
Так, например, для гауссовского случайного процесса z (t) (<(z (tyy = 0,
<z (t) z (tf)y = В (t - t')) z - гауссовская случайная величина с
параметрами <z> = 0, <z2> = В (0), а для телеграфного процесса (<z (?)> =
0, <z (?) z (?')> = al exp {- 2v | ? - ? |}) z - случайная величина с
распределением вероятностей
p(z) = ~ [6 (z - а0) + б (z + й0)].
Поскольку в этом приближении операция вариационного дифференцирования
в (3.5.16) будет входить в виде комбинации
SdT-6(1-31)
О
очевидно, что в статическом приближении статистические характеристики
решения стохастического уравнения будут описываться стохастическим
уравнением, в котором случайный процесс z (t) заменен на случайную
величину z. Так, например, для одномерного уравнения (3.4.21) в
статическом приближении имеем стохастическое уравнение
Hr
~^ = f(x) + zg{x), х (0) = х0. (1.32)
В этом приближении плотность вероятностей решения задачи удовлетворяет,
очевидно, равенству
Pi (х) = <6 (х (t) - x))z = § dz 8(х (t, z) - х) р (z), (1.33)
где х (t, z) - решение уравнения (1.32), соответствующее одной реализации
случайной величины z. Выражение (1.33) можно проинтегрировать и получить
в результате формулу
Р,{ х) = - 1 - p(z)
I xz (*• z)l
(1.34)
z=z(t, X)
где z - z (t, x) - решение уравнения x(t, z) - x = 0 относительно
переменной z. Если при этом существует стационарное распределение
вероятностей, то оно определяется равенством
Рсс(х) = -г^-- p(z)
I (*) |
(1.35)
=2(Х)
где z=z (х)-решение уравнения х (z)-х=0, а сама величина х (z) 118
определяется из равенства
-f[x)/g[x)=z. (1.36)
Следовательно, стационарное распределение вероятностей (1.35) в этом
случае дается формулой
ад.14й1И^ЙЬ"!,(_^). <1.37,
Так, если z - гауссовская случайная величина со средним значением, равным
нулю, и с дисперсией а2, то распределение вероятностей (1.37) принимает
вид (ср. с (3.4.24))
Г. (х) = < 1 '• <*>/ ?1Г > <±"" W I мр |. (1.37')
4 ' /2я з ё2 W I <is2g2 HJ v '
Если же z - случайная величина с распределением р (z) = = у [б (z - а0) +
б (z + а0)], то распределение (1.37) принимает вид
*.(.) - (137')
Отметим, что статическое приближение является первым членом разложения по
малому параметру Т!т0, где Т - характерное время изменения системы в
отсутствие флуктуаций. Если же величина Т - 0 (т. е. для уравнения (1.32)
при / (х) = 0, например), то статическое приближение справедливо лишь для
времен t<^x0. Это наглядно видно из точного уравнения (1.14), которое в
данном случае для гауссовских процессов z (t) выглядит так:
dPt (ж) dt
:^dt?(t) j^g {х)^ Pt(x). (1.38)
При t<^ т0 имеет место статическое приближение, а в случае статическое
приближение не применимо, и плотность вероятностей Рх (ос) для этих
времен описывается приближением дельта-коррелированного процесса.
