Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
должны подчиняться представители векторов и операторов
Стоит отметить еще одно следствие представления такого типа. Именно,
положив Л = / в (7.56), получим
I = -^2 jd2z,d2z212,> <2, |z2)(22|, (7.62)
что следует сравнить с нашим исходным соотношением
/==" J d2z\z) (z I.
Мы имеем два явно различных разложения одного и того же оператора по
одной и той же системе состояний; первая формула содержит суперпозицию
"внешних произведений различных векторов" !zi)(22|, в то время как рторая
- суперпозицию "внешних произведений одинако-
') Обширная и общая теория гильбертовых пространств, основанная на
воспроизводящих ядрах, была развита Аронсзайном [7.8].
176 гл. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
вых векторов" |z)(z|, т. е. проекционных операторов.
¦ Возможность существования большого числа разложений или представлений
является следствием переполненности системы когерентных состояний, что
проявляется в свойстве (7.61). Заметим также, что в следующей главе
будет, в частности, рассматриваться аналогичная множественность
разложения по когерентным состояниям для ряда других операторов.
Линейные зависимости. Одним из наиболее характерных свойств переполненной
системы векторов является наличие линейной зависимости между базисными
векторами. Одно из таких соотношений получается из (7.55), если положить
|i|)) = |z'):
|z'}=4 J>2|z)(2|2'>. (7.63)
Это равенство выражает |г') через все когерентные состояния.
Два других соотношения также представляют интерес. Выразим 2 в полярных
координатах, так что [как и в (7.51)]
ОО t
I z) = I re'e) = exp (- J r2) -j-7-777 I ")• (7.61)
n = 0
Отсюда легко получить
2Л
J е'рв | reie) d0 = 0, p = 1,2,.... (7.65)
0
Умножая на rpr и интегрируя по всем г, имеем
j" zp \z) d2z = 0, р= 1,2,.... (7.66)
С другой стороны, любое конечное число различных когерентных состояний
|2г|, / = 1, 2, . . . , L, составляет ряд линейно независимых векторов.
Это значит, что равенство
L
2с,|2,) = 0 (7.67)
1=1
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНТ. СОСТОЯНИЙ 177
имеет место лишь в том случае, когда все сг = 0. Доказательство этого
свойства мы предоставляем читателю.
В. Примеры и специальные свойства представителей векторов и операторов
по когерентным состояниям
Примеры представителей векторов. Рассмотрим некоторые конкретные примеры
известных квантовых состояний, чтобы пояснить использование и свойства
непрерывного представления по когерентным состояниям. Один из простейших
примеров - собственные состояния гармонического осциллятора; каждое из
них в соответствии с (7.4а) имеет свое функциональное представление
(z | п) = {п\)~ъ z*n ехр ( - у | г |2). (7.68)
Важно понимать, чему соответствуют эти функции: их следует сопоставить с
обычными функциями Эрмита, которые являются собственными функциями
осциллятора в шредингеровском представлении. Как мы уже указывали, при
использовании этого наиболее фундаментального представления векторам
соответствуют функции ф(х) одной действительной переменной, оператору Q -
умножение на х, а оператору Р - дифференцирование -ibd/dx. Далее,
уравнение на собственные значения энергии для гармонического осциллятора
с единичными массой и угловой частотой имеет вид
Y (- й21ТД + х2 - = (*)¦ (7-69)
В большинстве учебников по квантовой механике показывается, что это
уравнение обладает (нормируемыми) решениями, если Е = пЬ, п = 0, 1, 2,
...; эти решения просто связаны с функциями Эрмита, определяемыми
следующим равенством:
к {у)" ехр (^^ехр (_ у2)¦ {7-70)
В частности, для нормированных собственных решений уравнения (7.69) имеем
ф n(x) = h-'uhn(h~'l2x). (7.71)
178 ГЛ. 7 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Приведем в качестве примера явное выражение ф"(*) при " = 1,2:
Фо(х) = (лй)_,/,ехр( - -(7.72а) Ф, (х) = j х exp (- ^-). (7.726)
Во всяком случае, главным здесь является то обстоятельство, что
абстрактные состояния, представляемые функциями Эрмита (в единицах Ь)
ф"(х), для каждого п совпадают с состояниями, представляемыми функциями
(г\п).
Шредингеровское представление векторов является столь традиционным и
играет в физике столь важную роль, что полезно иметь более общую связь
между ним и представлением функциями (г|ф). Возьмем снова запись в
фазовом пространстве
(р, q | ф) = (0 | е1 (чр-рЧУп \ г|)) =
= (0 | е'^чр1не-11>^ке'^чР1н |г|)). (7.73)
Последнее соотношение получается в результате двухкратного применения
соотношения (7.24). В шрединге-ровском представлении (7.73) принимает вид
(Р, Ц I Ф) = [ Фо (* ~ у) е~'Рх1Ц) (х + ~jdx =
= (ЯйГ * | ехр [ - - Щ ф (х + |) dx. (7.74)
где мы воспользовались соотношением
ехР (пЛГ) ^ ^ = ехр (т 9 Жг) ^ М = ^ {х + f) ' ^7'75^
справедливым для произвольной функции ф(х). Соотношение (7.74) позволяет
перевести любой шредннгеров-ский представитель в представитель (р, q \ ф)
из фазового пространства. Ясно, что и функцию ф(г/) можно восстановить по
{р, <7|ф) с помощью преобразования Фурье
г|)((/) = [2лйф;(- у)\-' J (p,2y\i!p)dp. (7.76)
