Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(6.77) упрощается и принимает вид
А (х, v) = - | ~ (х, у, v) А (у, v) dS. (6.81)
s
Последнее уравнение означает, что оператор поперечного потенциала в
произвольной точке х области R, свободной от источников, линейно связан с
операторами поперечного потенциала на поверхности S, окружающей R. Кроме
того, (6.81) показывает, что поведение операторов определяется для каждой
частоты независимо.
Столь же интересной является временная форма уравнения (6.81). Полагая
К (х, у, 0= - j (х, У, v)e~2nivt dv, (6.82)
§ 5. ХАРАКТЕРНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕН. ЭВОЛЮЦИИ 155
получаем, что операторы поля удовлетворяют соотношению
А(х, 0 ^ / J" ^ (х> у, < - О А (у, t')dSdt'. (6.83)
s
Разумеется, нет ничего удивительного в том, что поперечный векторный
потенциал подчиняется таким соотношениям. Любая величина, подчиняющаяся
волновому уравнению для свободного поля в области R, удовлетворяет
аналогичным соотношениям. Например, путем сходных рассуждений можно
показать, что электрическое поле Е(х, /) в точке х, лежащей в области R,
удовлетворяет соотношению
Е (х, 0 = J J К (х, у, t-t')E (у, t') dS dt'. (6.84) s
Эти фундаментальные выражения, устанавливающие связь между полем в пустом
пространстве и его значениями на поверхности S, без каких-либо изменений
фигурируют и в классической теории, рассмотренной в первых двух главах.
Следствия из этих законов распространения, получающиеся в классической
теории, имеют свои аналоги в квантовой теории. В частности, теорема ван
Циттерта - Цернике, изложенная в гл. 1, имеет прямой квантовый аналог.
7
Представление электромагнитного поля по когерентным состояниям
§ 1. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Представление о когерентных состояниях, которые будут играть столь важную
роль в нашем квантовостатистическом описании поля излучения, имеет свою
большую и интересную историю. Суть ее содержится уже в той части
квантовой механики, которая относится к системам с одной степенью
свободы. Пусть, как в гл. 5, величины Q и Р образуют (неприводимую)
каноническую пару операторов [Q, Р] = г'й; и кроме того (выбирая для
простоты круговую частоту равной единице), положим а = (Q + iP)f У 2h ,
а+ = (Q - iP)j У 2h и N = а+а. Свойства этих операторов и собственных
состояний j п) оператора числа частиц (квантов) с п = 0, 1, 2, ... были
довольно подробно разобраны в гл. 5. Здесь мы возобновим это
рассмотрение, приступая к изучению когерентных состояний, т. е. векторов
вида
оо
|г> = ехр(Ц|г|2)2-^И, (7Л)
п = 0 ' ¦'
определенных для произвольных комплексных чисел z.
Следует сделать несколько замечаний по поводу обозначений. В правой части
равенства (7.1) фигурирует линейная комбинация собственных состояний | п)
оператора числа квантов с коэффициентами, зависящими от г. Эта линейная
комбинация определяет новый вектор, который мы обозначаем самим
комплексным числом z. Следует, однако, отчетливо понимать, что состояние
)1)-собственное состояние оператора N -
§ 1. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 157
резко отличается от записываемого таким же образом состояния | Г),
которое мы получаем, положив в (7.1) 2=1.
С педагогической точки зрения представляется целесообразным ввести и
другое обозначение для |г), в котором были бы явно выделены
действительная и мнимая части г. Полагая
-$?¦' ,7-2)
где q и р - два произвольных действительных с-числа, можно ввести
определение
оо
\г)Щр, <?> = ехр[ ~ ^-(Р2 + Q2)\ Е (7-3)
п=О
Сопряженные когерентные состояния определяются аналогичными равенствами
<г[-"р(-{|2р)?^.(п|, (7.4а)
п = О
<z| = <p, q | = ехр
1 П °°
г (Р2 + ?2)1 У -(q~lP)n /п I
4Й J ? (2Й)"/2 (в!)1/. '•
я=0
(7.46)
Особого внимания заслуживает то обстоятельство, что сопряженное состояние
также обозначается буквой г, хотя в коэффициенты разложения в ряд
фактически входят степени 2*.
А. Собственные состояния смещенного и сдвинутого осцилляторов
Смещенный осциллятор. Наиболее важную роль, с нашей точки зрения, играет
соотношение между когерентными состояниями и собственными решениями для
смещенного (или сдвинутого) гармонического осциллятора. Рассмотрим
подробнее решение для основного состояния гармонического осциллятора, у
которого, как обычно, масса и круговая частота выбраны равными
158 ГЛ. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
единице. Это решение удовлетворяет уравнению
^|0> = у{Р2 + <22-й}|0> = 0. (7.5)
Здесь приведен гамильтониан системы, у которой в основном состоянии
средние координата и импульс равны нулю:
<0 IQ i 0> = (01 Р | 0) = 0. (7.6)
Далее, одним из наиболее важных следствий коммутационных соотношений
является такое свойство:
U[P, ("Р + Ю)и[р, q] = a{P + p) + ${Q + q); (7.7)
здесь а и р - произвольные параметры, a U[p,q] - унитарный оператор
U[p, q] = е'М-чт. (7.8)
По существу действие U\p, q] на оба оператора Р и Q выражается в их
смещении на с-числа, равные соответственно р и q. Ясно, что U[p,q]~l =
U[-p,~q]. Свойство (7.7) доказывается проще всего, если заметить, что для
