Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
лая функция, так как на любую из функций f(z*) наложено ограничение
|/(г')| = ф (г) exp (^-1 2 |2) < || | ф) || exp (у | 2 |2). (7.47)
Смысл функций ф(г) выяснится ниже при рассмотрении других замечательных
свойств когерентных состояний, к чему мы и переходим.
Б. Непрерывное представление, основанное на когерентных состояниях
"Разложение единицы". При традиционном квантовомеханическом подходе часто
отыскивают полный набор коммутирующих наблюдаемых и в качестве базисной
системы векторов используют систему их общих собственных векторов.
Например, ""-базис" определяет полную ортогональную систему векторов |я),
п = 0, 1, 2, ,
являющихся собственными векторами оператора числа квантов N. В свою
очередь, как уже указывалось в гл. 5, этот базис порождает каноническое
функциональное представление гильбертова пространства с помощью функций
от п (последовательностей), определенных равенством ф" =(/г|ф). Такой
подход, который во многих случаях оказывается весьма плодотворным,
основан на фундаментальной теореме Стоуна и фон Неймана. Грубо говоря,
эта теорема утверждает, что всякий эрмитов оператор порождает связанное с
ним функциональное представление гильбертова пространства.
Значительно меньше известно, вообще говоря, о "базисах", порождаемых
собственными векторами неэрмитовых операторов, таких, как оператор
уничтожения а. В действительности априори нельзя гарантировать, что
собственные векторы |z) накрывают1) гильбертово пространство.
Например (правые) собственные векторы оператора af не накрывают никакого
пространства, поскольку,
') Термин "накрывает" (в оригинале span) здесь использован для краткости,
Речь идет о том, что соответствующий набор векторов образует базис
гильбертова пространства, т. е. любой вектор пространства можно
представить в виде линейной комбинации векторов из указанного набора. -
Прим. ред.
170 гл. 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
как было показано выше, оператор а+ не имеет собственных векторов. В
качестве другого примера рассмотрим осциллятор Ферми, которому
соответствуют операторы вида
Собственные векторы оператора Nf накрывают двумерное гильбертово
пространство; напротив, у оператора ос-
есть всего лишь один собственный вектор (соответ-
ствующее собственное значение равно нулю), и он, естественно, не может
накрывать указанного пространства.
К счастью, однако, когерентные состояния iz) со всеми возможными 2
накрывают гильбертово пространство. Впервые этот факт был отмечен, по-
видимому, фон Нейманом в его книге по квантовой теории [5.4]. Нейман
указывает, что подмножество всех когерентных состояний |z), для которых 2
= ]/я(/ + im), где / и т - произвольные целые числа, уже накрывает
гильбертово пространство. Физический смысл этого состоит в том, что
полная система состояний определяется такими векторами 1 p,q), для
которых точки р и q образуют прямоугольную решетку в фазовом пространстве
с плотностью одно состояние на "ячейку Планка" объемом h - 2лЬ.
Далее, если уже подмножество когерентных состояний накрывает все
гильбертово пространство и, таким образом; по нашей терминологии,
является полной системой, то все множество когерентных состояний может
быть названо переполненным. Это значит, что должны существовать
определенные линейные зависимости между когерентными состояниями, и ниже
мы приведем некоторые из них. Прежде чем демонстрировать это, мы еще раз
повторим утверждение о том, что система собственных векторов |г)
оператора уничтожения не только полна, но и переполнена.
Из полноты когерентных состояний вытекает следующее фундаментальное
следствие: обращение в нуль функции ф(2)=(2|ф) для всех 2 влечет за собой
обра-
s 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОГЕРЕНГ. СОСТОЯНИЙ т
щение в нуль вектора |ф); обратное, разумеется, также справедливо. Таким
образом, абстрактные векторы |г|з) могут быть поставлены в одно-
однозначное соответствие с комплексными ограниченными функциями ф(2) = =
(2|ф). Аналогия с одно-однозначным соответствием между векторами
гильбертова пространства |ф) и последовательностями {!])"} (где г|)п
=(n|r|))) очевидна; она наводит на мысль о том, что мы можем представить
абстрактное гильбертово пространство ^ с помощью линейного класса функций
(скажем, 6), содержащего ф (г) = {г \ ф) для каждого |ф)е ?.
Чтобы окончательно определить наше представление, мы должны превратить
линейное пространство функций 6 в гильбертово пространство, введя
соответствующее скалярное произведение. Как ¦ подчеркивалось в гл. 5, при
использовании канонической процедуры Дирака ключевую роль играет формула
разложения единицы по одномерным проекционным операторам [см. (5.11)]. В
данном случае наши определения скалярных произведений и других подобных
величин по внешнему виду будут формально идентичны приведенным в гл. 5,
если мы сможем доказать основное "разложение единицы" вида
/ = |j>2|2)<2|, (7.48)
где
d2z = d (Re z) d (Im z)
и интегрирование распространяется на всю комплексную плоскость1).
