Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
двух произвольных операторов X и У имеет место равенство
еуХе~у = X + [Y, Х] + -^-[У, [Y, Jf]]+ .... (7.9)
В нашем случае этот ряд обрывается после второго члена.
Рассмотрим теперь соотношение 0= U [р, q\2%\ 0) = U [р, q\Жи [р, q]~x
U{p, q] | 0> =
= \ {(Р ~ Р? + (Q - q? -b)U [р, q] I 0), (7.10)
которое получается в результате повторного использования (7.7). Очевидно,
что состояние
\p,q) = U[p,q}\0) (7.11)
является основным состоянием аналогичного осциллятора, у которого
координата смещена на q, а импульс -
§ 1. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 159
на р. В частности, средние координата и импульс теперь уже не равны нулю
и определяются выражениями
(Р, Q\Q\p, <7> = (0| U[p, (/Г1 QU[p, <7] I 0> =
= <0|(Q + <7)|0) = <7, (7.12а)
(р, q\P\p, q) = p, (7.126)
второе из которых выводится аналогично первому. Ниже мы подробно покажем,
что определенные здесь состояния jp, q) совпадают с когерентными
состояниями (7.3). По очевидным причинам мы будем называть рассмотренный
пример случаем "смещенного осциллятора".
Другое интересное свойство получается, если рассмотреть временную
эволюцию основного состояния \p,q) смещенного осциллятора под действием
несмещенного гамильтониана Ш = '^{Т32 + Q2 - й}. Позже мы покажем, что
e-it3€!h | р> ф = | у)' (7_ j 3)
где РкЛ(0 и 7кл(0 - решения для классического осциллятора
<7кл V) = Ч cos t + р sin /, (7.14а)
Ркл(0 = - Q sl'n t + р cos t, (7.146)
удовлетворяющие начальным условиям ркл(0) = р и <7кл(0)= <7- Другими
словами, состояние | p,q) в процессе временной эволюции переходит в
другое состояние того же самого рода, определяемое зависящими от времени
значениями параметров р и q. Образно говоря, состояние i jo, q) меняет со
временем не свой вид, а лишь средние координату и импульс, причем
изменение последних происходит в соответствии с классическими уравнениями
движения.
Эволюция состояний |р, q) согласно классическим уравнениям движения имеет
место для произвольно малых значений р и q. Эго, однако, не означает, что
полученным решениям можно дать строго классическую (т. е. не
вероятностную и т. д.) интерпретацию. Поскольку й > О, измеряемые
значения импульса и координаты будут иметь отличный от нуля разброс.
165 гл- 7- ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Сдвинутый осциллятор. Представление о когерентных состояниях можно ввести
несколько иным способом с помощью следующих рассуждений. Рассмотрим
исходный несмещенный гамильтониан типа (7.5), но теперь уже в присутствии
внешних с-числовых сдвигающих членов р и q, связанных соответственно с
операторами Р и Q таким образом, что
Ж'= ^{P2 + Q2 - h}-pP-qQ. (7.15а)
Это можно назвать случаем "сдвинутого осциллятора" в противоположность
рассмотренному выше случаю "смещенного осциллятора". Тем не менее
состояния \р, q) по-прежнему являются собственными векторами
гамильтониана Ж'. Чтобы понять это, достаточно заметить, что
Ж = \ "/> - Р? + {Q~ qf - А} - i {Р2 + q% (7-156)
Следовательно, используя (7.10), получаем
Ж'\р,д)=-\{р* + д2}\р,д). (7.16)
Это значит, что \p,q) является собственным вектором оператора Ж с
собственным значением
?=~у{^ + ?2}. (7.17)
Более того, если сдвигающие члены зависят от времени [т. е. если в
(7.15а) p - p(t) и q = q{t)], то из предыдущего следует, что состояние
|p(t), q(t)) является собственным вектором зависящего от времени
гамильтониана Ж' = Ж' (t) сдвинутого осциллятора в каждый момент времени
/, и соответствующее собственное значение Е = E(t) = -'/г{р2(0 + </2(0}-
Подводя итог, заметим, что когерентные состояния jр, q) являются
основными состояниями смещенных или сдвинутых осцилляторов. В последующем
рассмотрении мы часто будем пользоваться этими свойствами когерентных
состояний.
§ 1. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 161
Б. Волновые пакеты с минимальной неопределенностью
Когерентные состояния возникают и в связи с совершенно другой задачей, а
именно при рассмотрении условий минимальной неопределенности. Такой
аспект имеет, собственно, мало общего с квантовой оптикой, однако он
настолько традиционен, что мы считаем себя не вправе не уделить ему
некоторого внимания.
Для краткости обозначим снова среднее от оператора О по нормированному
состоянию Д-) через
(С) = <Ч>|СЧц>) (7.18)
и, кроме того, положим
АР = Р-(Р), (7.19а)
AQ = Q - (Q)- (7.196)
Тогда (сначала с помощью неравенства треугольника,
а затем с помощью неравенства Шварца) получим
y? = jK[Q, P])\=j\(№ АТ3]) | <
< I (AQ AP) | < (AQ2)'h (АР2У'\ (7.20)
т. e. принцип неопределенности Гейзенберга в его обычном виде. Чтобы
получить состояние с минимальной неопределенностью, нужно каждое из
неравенств в (7.20) обратить в равенство. Неравенство Шварца переходит в
равенство при AQji|)) =-irAP|гр); для того чтобы превратить в равенство
неравенство треугольника, величина г должна быть действительной; наконец,
для согласования с соотношением [Q, 73] = ib величина г должна быть
положительной. Для дальнейшего выберем1) г = 1, что приводит к условию
