Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
{XiXi+iX'1, если j=i, Xi, если j = i + l,
Xj, если j ф г, і + 1.
21 Важные факты о конфигурационном пространстве множеств из п различных точек в С кратко изложены в статье [1] и подробнее в [2]. — Прим. ред. 10.7. Упражненья
335
Докажите, что существует гомоморфизм X из группы кос Bn в группу автоморфизмов свободной группы Fn, такой, что X(ai) = Xi для всех І.
3. (Представление Бюрау.) (а) Пусть п > 1 — некоторое целое, а {«1,... ,vn} — базис свободного l*[t, ?_1]-модуля Vn ранга п. Для любого і такого, что 1 ^ і ^ п — 1, зададим автоморфизм /? модуля Vn по формуле ?i(Vk) = Vk, если к ф і, і + 1, и
?i(Vi) = (1 - t)Vi + Vi+l и ?i{vi+i) = tVi.
Покажите, что существует, и притом единственный, гомоморфизм ? из группы кос Bn в группу автоморфизмов модуля Vn такой, что ?(oi) = ?i для всех і.
(б) Пусть {ei,... , е„_і} — базис свободного Z[t, ?-1]-модуля Fn-i ранга п — 1. Для произвольного г, 1 < і < п — 1, зададим автоморфизм ?i модуля Vn-I ПО формуле ?i(ek) = ek, если к Ф І, и ?i(ei) = tei-1 — tei + Єг+і, где положено ео = е„ = 0. Покажите, что существует, и притом единственный, гомоморфизм ? из группы кос Bn в группу автоморфизмов модуля Fn-I такой, что ?{oi) = ?i для всех г. Докажите, что
?{(ax... ап-г)п) = tn Idw
(в) В случае п = 3иі = -1 докажите, что ? индуцирует эпиморфизм из группы Вз в группу SL2(Ii) целочисленных матриц 2x2 с единичным определителем.
4. Зададим группу Pn крашеных кос как ядро отображения / сг(/) из группы кос Bn в симметрическую группу Sn. Покажите, что группа Pn изоморфна фундаментальной группе пространства Yn, определенного в пункте 6.4.
5. (Скобка Kayффмана.) Покажите, что скобка Кауффмана, определенная в параграфе 8, инвариантна относительно движений Райдемайстера (0), (I'), (II) и (III) (движение (I') есть разновидность движения (I), определенная в параграфе 8). 336
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
10.8. Замечания
Классическими ссылками по теории узлов являются работы [Bir74], [BZ85], [Kau87a], [Rei32], [Rol76] 22 . Многочлен Джонса Vl был построен в работах [Jon85], [Jon87]. Его обобщение Pl от двух переменных появлялось в ряде работ, написанных почти одновременно: [FYH+85], [Hos86], [LM87], [РТ87] (см. также [HKW86], [Kau91]). В доказательстве теоремы 4.2 мы следовали Тураеву [Тиг89].
(Гладкие плетения.) Имеются разновидности понятий плетения и изотопии, в которых кусочно-линейные отображения заменены на отображения класса С°°, а условие на границе в определении 5.1 заменено на условие трансверсальности. Определенные таким образом гладкие плетения проецируются в гладкие диаграммы. Можно показать, что гладкие изотопические классы гладких плетений находятся во взаимно однозначном соответствии с изотопическими классами плетений, определенных в параграфе 5 (см. [BZ85]).
(Оснащенные плетения.) Определим нормальное векторное поле на гладком плетении L как некоторое С°°-гладкое векторное поле на L, которое нигде не касается L и принимает значение (0, —1,0) во всех точках границы dL. Плетение с нормальным векторным полем удобно представлять себе как заузленную ленточку, определенную следующим образом: одна компонента края ленточки есть собственно плетение, а вторая получается из первой малым сдвигом вдоль векторного поля. Оснащение плетения L — это гомотопический класс нормальных векторных полей на L, где нормальные векторные поля называются гомотопными, если одно можно непрерывно продеформировать в другое в классе нормальных полей. Понятие изотопии для плетений можно расширить на плетения с оснащением. Изотопические классы плетений с оснащениями называются оснащенными плетениями, или ленточками. Мы увидим в главе 14, что ленточки приводят к интересной категорной структуре, таж называемым ленточным категориям.
Как и обычные плетения, оснащенные плетения можно представлять диаграммами, такими же, как те, что описаны в параграфе 5. Возьмем произвольную диаграмму плетения. По определению она задает следующее оснащенное плетение: к обычному плетению, заданному диаграммой, надо добавить оснащение, которое представляется
22 См. также [20]. — Прим. ред. 10.8. Замечания
337
постоянным нормальным векторным полем (0,-1,0), перпендикулярным плоскости диаграммы и направленным в сторону наблюдателя. Таким способом любое оснащенное плетение можно с точностью до изотопии представить с помощью плоской диаграммы. Мы знаем этот факт для соответствующего плетения без оснащения. Чтобы представить диаграммой произвольное оснащенное плетение, надо лишь уметь задавать вертикальную дугу, вокруг которой векторное поле оснащения поворачивается на угол 27г или — 2ж. Соответствующие ленточки показаны на рис. 8.1. Они могут быть представлены диаграммами, изображенными на рис. 8.2.
Рис. 10.8.1 Рис. 10.8.2
Для оснащенных плетений имеет место аналог теоремы Райдемайстера. Чтобы его сформулировать, нужна модификация (I') движения Райдемайстера (I). Она показана на рис. 8.3. Две диаграммы плетения задают изотопные оснащенные плетения, тогда и только тогда, когда они могут быть получены'одна из другой движениями Райдемайстера (I'), (И), (III) и изотопией диаграмм.
