Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 10.6.10. Отображение f >->• сг(/) индуцирует эпиморфизм из группы кос Bn на симметрическую группу Sn.
Доказательство. Во-первых, ясно, что эквивалентным косам соответствуют одинаковые перестановки. Поэтому / факторизуется до отображения из группы Bn. Оно является гомоморфизмом, поскольку мы имеем a(L' о L) = a(L') о a(L), a(ln) = id и cr(L_1) = аЩ-1. Перестановка косы Ui есть транспозиция (г, г + 1). Сюръективность отображения следует из того, что транспозиции порождают всю симметрическую группу. ? 332
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
Утверждение этой леммы неудивительно, если принять во внимание теорему Мура, дающую следующее представление симметрической группы Sn образующими и соотношениями: Sn порождается п—1 транспозициями Si = (г,г -f- 1) и соотношениями (6.1), (6.2), в которых Oi заменены на Sjj а также дополнительными соотношениями S2 = 1 для і = 1,... ,п — 1.
Одно из значительных различий между симметрической группой и группой кос состоит в том, что первая конечна, а вторая бесконечна (при п > 1). Кроме того, группа Bn не имеет кручения, то есть все элементы, не равные In, имеют бесконечный порядок.
10.6.4. Представление кос с помощью петель
Мы завершаем этот параграф определением кос через отображения. Пусть п — произвольное натуральное число. Рассмотрим пространство
Yn = {{zi,... , zn) Є С" I г ф j => Zi ф Zj],
снабженное индуцированной топологией как подмножество в пространстве С". Симметрическая группа Sn действует на Yn перестановкой координат. Пусть Xn = Yn/Sn есть фактор-пространство с соответствующей топологией. Пространство Xn называется конфигурационным пространством п различных точек из С. Рассмотрим множество р= {1,2,... , п} как точку в Xn, соответствующую п различным точкам в С.
Определение 10.6.11. Петлей в пространстве Хп называется кусочно-линейное отображение
/ = (/1,/2,... ,/n):/=[0, IMCn
такое, что для всех t Є I мы имеем fi(t) ф fj(t), если і ф j, и
/(0)-(1,2,... ,п) и {h(l),f2(l),... Jn(I)] = {1,2,... ,п}.
Петли в Xn и косы из п нитей в R2 X [0,1] становятся эквивалентными понятиями, если отождествить С и R2. Действительно, для данной петли / = (/1,/2, ¦• • , fn) в Xn объединение графиков отображений fi есть коса из п нитей. Обратно, для любой косы L из п нитей можно определить fi(t) как проекцию на R2 = С пересечения плоскости 10.6. Косы
333
R2 X {і} со связной компонентой косы L, кончающейся в точке (г, 0,0). Это определяет петлю / = (/1,/2, ¦¦¦ ,/п) в пространстве Xn.
Для произвольной петли / = (/1,/2, ¦ ¦ ¦ ,/„) в Xn зададим перестановку ст(/) множества {1,... , п} как a(f)(k) = fk( 1) для всех Проверьте, что если / есть петля, соответствующая косе L, то сг(/) = a(L).
Эквивалентность кос можно выразить в терминах петель в Xn следующим образом. Две петли / = (/1,/2,-¦¦ ,/„) и 5 = (.91,92,-¦¦ ,Sn) в пространстве Xn гомотопны в Xn (запись: / ~ д), если существует кусочно-линейное отображение, называемое изотопией,
H = (H1, H2,... , Hn): / X / —>¦ С",
такое, что для всех (s,t) Є I х I и г ф j имеет место Hi(s, t) ф Hj(s, t), для всех S E I vi к, 1 к п
#*М) = Л(0) = Sfc(O) И яЛ(а,1) = Zfc(I) = Sfc(I) и для всех < 6 / и 1 ^ fc ^ п
Hk{0,t) = fk(t) и ЯЛ(1,і) =SfcW-
Предложение 10.6.12. Дее косы из п нитей эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им петли изотопны в Xn.
Композицию кос можно определить на языке петель. Пусть / (соответственно /') — петля в Xn, соответствующая косе L (соответственно L'). Нетрудно видеть, что петля //' = ((//') 1,... , (//On), соответствующая косе L' о L, образованной с помощью операции композиции плетений (см. параграф 5), задается для всех г формулой
iff') (t) = lfi{2t)' если 0 ^ f ^ 1/2,
t/;w(2*-l), если 1/2 <1,
где a = a(f) — перестановка петли /. Петля //' называется произведением петель / и /'. Мы имеем cr(ff') = a(f') о a(f).
Для данной петли / = (/i,... , /„), соответствующей косе L, петля /-1, заданная равенством
K1(Z) =Л->«)(1 -*). 334
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
соответствует обратной косе L~l, где снова а = сг(/). Петля, соответствующая косе In, есть постоянное отображение zu (1,2,... , п).
Имеет место следующее утверждение, которое является аналогом лемм 5.10 и 5.11 для петель.
Лемма 10.6.13. Для данных петель f,f',f",g,g' в пространстве Xn
(а) если / ~ д, и f ~ д', то ff ~ дд',
(б) (//')/" ~ Я/7"),
(в) 1я/~/~/1„,
(г) /Г1 ~ In ~ Г1Z-
Доказательство. Cm. параграф 9. ?
Из представления кос с помощью петель, а также определений, данных в параграфе 9, мы получаем следующий важный результат 21.
Предложение 10.6.14. Группа кос Bn изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства Xn множеств из п различных точек в С:
Bn = 7Гі(Хп,р),
где р есть множество {1,... , п}.
10.7. Упражнения
1. (Центр группы кос.) Пусть п — целое > 2. Покажите, что центр группы кос Bn порождается элементом (аі ...
2. Для целого п > 1 пусть Fn обозначает свободную группу, порожденную переменными Х\,... ,хп. Определим автоморфизмы Xi,... , Xn_i группы Fn по формуле
