Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
из предложения 2.1.3. Аксиомы пятиугольника и треугольника, очевидно, выполнены.
В категории Vect(k) имеются важные подкатегории, наследующие тензорную структуру. Например, если G — некоторая группа, то категория k.[G]-Mod представлений группы G над полем к, или, что то же самое, к[(3]-модулей является тензорной подкатегорией категории 356
Глава 11. Тензорные категории
Vect(к), где тензорное произведение U <8> V двух G-модулей над полем к наделяется структурой G-модуля следующим образом:
д(и (g> v) = ди <8> gv и дХ = X
для д € G, и Є U, D Є У и А Є к.
Мы знаем из главы 3, что групповая алгебра k[G] есть ассоциативная алгебра над к с коумножением и коединицей. Сейчас мы рассмотрим алгебры такого типа. Пусть А — ассоциативная алгебра с единицей над полем к, снабженная гомоморфизмом алгебр Д: А —> А <8> А, называемым коумножением, и гомоморфизмом є: А —> к, называемым коединицей. Обозначим через A-Mod категорию левых А-модулей (иначе, представлений алгебры А). Если U, V — левые Л-модули, то тензорное произведение U <8> V является левым А ® А-модулем. Коумножение позволяет получить на А® А-модуле структуру А-модуля. Она задается формулой
а(и <8> v) = А(а) (и <g> v) (3.2)
для а Є А, и Є U и V Є V. На поле к структура А-модуля определяется по формуле
аХ = є(а) X. (3.3)
Теперь ясно, что тензорное произведение в Vect(к), ограниченное на A-Mod, дает функтор
<g>: A-Mod X A-Mod -t A-Mod,
для которого J = к является единичным объектом. Следующее утверждение характеризует биалгебры в терминах категорий модулей над ними.
Предложение 11.3.1. Пусть А = (А, Д,є) — некоторая алгебра с коумножением и коединицей, как и выше. Она является биалгеброй тогда и только тогда, когда категория A-Mod с заданным на ней тензорным произведением, описанным выше, и условиями а,1,г, взятыми из Vfect(k), является тензорной категорией.
Доказательство. Пусть (А,р,г),А,є) является биалгеброй. Тогда из предложения 3.5.1 следует, что (A-Mod,®,I = к, о, 1,г) есть тензорная категория. 11.3. Примеры тензорных категорий
357
Обратно, пусть (А, р, г}, А, є) — алгебра с коумножением и коеди-ницей. Предположим, что (A-Mod, ®, I = k, а, I, г) является тензорной категорией. Докажем, что коумножение Д коассоциативно, а є является коединицей в смысле определения 3.1.1.
Начнем с коассоциативности отображения Д. Рассмотрим условие ассоциативности а а, а, А- По предположению оно А-линейно, откуда для а, и, V, W Є А мы имеем
a A,AA (а ((« ® w) ® го)) = a aAtAtA((u ®v)®w).
По определению условия ассоциативности, это можно выразить следующим образом:
(А ® id)(A(a))(u ® (v ® w)) = (id ® А)(А(а))(и ® (v ® w)).
Полагая u = v = w = lE А, получаем
(Д (8> id)(A(a)) = (id ® Д)(Д(а)).
Аналогично, Ia является А-линейным тогда и только тогда, когда (є <8> id)(A(a)) = о, а г а является А-линейным тогда и только тогда, когда (id (g> є)(Д(а)) = а для всех а Є А. ?
11.3.2. Тензорные категории, построенные из групп
Приведем примеры строгих тензорных категорий. Пусть (Gl)l^z+ — некоторое семейство групп, занумерованных элементами полугруппы Z+ неотрицательных целых чисел. С ним мы можем ассоциировать категорию Q как описано в примере 1 параграфа 1. Предположим, что Go = {1} и что для любой пары (п,т) неотрицательных целых чисел имеет место гомоморфизм групп рп;т : Gn х Gm Gn+m. Определим тензорное произведение в категории Q формулой п® т = п + т и для д Є Gn, h Є Gm положим
g®h = рп>т(д, h) Є Gn+m.
Проверьте, что (Q,®,I = 0, о = id, I = id, г = id) есть строгая тензорная категория при условии, что гомоморфизмы рп,т удовлетворяют соотношениям
Рп+тп,р ° (рп,т X idGp) = Pn,m+p ° (idG„ X ртф)
(3.4) 358
Глава 11. Тензорные категории
и Po,n = Рп,о = id(jn после естественных отождествлений. Эту конструкцию можно применить к следующим семействам групп.
(а) Рассмотрим группоид GL (к) из примера 3 параграфа 1, построенный из семейства групп (GLn(к)). Зададим отображения рп>т следующим образом:
Соотношения (3.4) выполняются. Категория GL(к) становится, таким образом, тензорной категорией.
(б) Семейство подгрупп {Gn}n групп GLn(к), сохраняемое отображениями рп,ті также приводит к строгой тензорной категории. Например, возьмем семейство симметрических групп Sn, реализованных как подгруппы в GLn(к) с помощью матриц перестановок. Полученная категория S является тензорной категорией.
11.4. Тензорные функторы
Определение 11.4.1. (а) Пусть С = (С, ®, I, а, I, г) и V = = (Т>, ®, I, а, I, г) — тензорные категории. Тензорным функтором пз С в Т> называется тройка (F, щ,(р2),в которой F: С —> Т> — функтор, ipo — некоторый изоморфизм из J в F(I), а
— семейство естественных изоморфизмов, занумерованных парами (U, V) объектов категории С такая, что диаграммы
[F(U) ® F(V)) ® F(W) aF(t7),F(V)'F(ty) ) F(U) ® (F(F) ® F(W))
ip2(U, V): F(U) ® F(V) ->¦ F(U ® V)
F(U ®V)®F(W)
idF(C7)®v>2 {V,W)
F(U) ® Fiy ® W)
4>2{U®V,W)
4>2{V,V®W)
F(U ®(V ®W)),
F((U ®V)®W)
F(au,v,w)
(4.1) 11.4. Тензорные функторы
