Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство Дринфельда теоремы 4.1 основано на двух главных идеях. Первая состоит в рассмотрении тривиальной топологической биалгебры (f(g)[[/i]], А, є), снабженной обратимым элементом Rkz = eht^2 Є t/(g)®2[[/i]], как в конце параграфа 3. Вообще говоря, 19.4. Теорема Дринфелъда-Коно
575
Rkz не индуцирует структуры топологической сплетенной биалгебры на {7(?)[[/i]]. Тем не менее Rkz индуцирует структуру топологической сплетенной квазибиалгебры, превращая ї/(0)[[/і]] в квантовую обертывающую алгебру. Кроме того, данная структура содержит информацию о монодромии всех (KZn)-CHCTeM. Эти утверждения собраны вместе в следующей теореме, которая обобщает предложение 3.3.
Теорема 19.4.2. Для любой комплексной алгебры Ли и любого элемента t из 0 0 0, удовлетворяющего условиям (3.1), существует элемент
*KzGU(9nh}} = (U(9)[[h]}f3,
Ф^ = 1 <8 1 <8 1 (mod/i), такой, что
(i) топологическая (квази) биалгебр а
Ae,t = (С/(0)[И],Д,?,Фк2,Як2 = еы!2)
является квантовой обертывающей алгеброй и
(ii) для любого целого п > 1 и любого g-модуля V представление монодромии pnz группы Bn в пространстве F[[/i]]®n эквивалентно представлению pnKZ группы кос Bn, индуцированному универсальной R-матрицей Rkz = eht/2, как в параграфе 15.4.
Так как (Rkz)2iRkz = eht = 1 <8 1 + tot (mod to), мы видим, что канонический 2-тензор алгебры A0)t совпадает с t. Таким образом, A0it поставляет решение задачи квантования пары (g, f). Заметим, что это решение получается без деформации умножения или коумножения обертывающей алгебры. Это является первым основным свойством KOA A0it.
Второе выражено в утверждении (ii) теоремы 4.2: говоря вольным языком, оно означает, что алгебра A0it является универсальной для монодромии всех систем дифференциальных уравнений Книжника-Замолодчикова. Заметим также, что решение системы (KZ2), данное формулой (3.8), фиксирует универсальную R -матрицу алгебры A0)t в виде eht!2,
Вторая идея Дринфельда, используемая при доказательстве теоремы 4.1, может быть сформулировала следующим образом. 576
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
Теорема 19.4.3. Если, кроме того, алгебра JIu g полупроста и t есть 2-тензор, фигурирующий в теореме 4.1, то существует калибровочное преобразование F Є Ag<t Q Ag<t и C[[/i]]-линейный изоморфизм
a: Uh(o)~* (A9tt)p
топологических сплетенных квазибиалгебр.
Как следствие теоремы 4.3 и теоремы 15.3.9 мы получаем следующую важную категорную интерпретацию алгебр Дринфельда-Джимбо. Более сильное утверждение содержится в следствии 20.6.2.
Следствие 19.4.4. Тензорный функтор (a*, id, <р2) является сплетенной тензорной эквивалентностью между сплетенной тензорной категорией топологически свободных и(д)[[Н\]-модулей конечного ранга, снабженной условием ассоциативности, индуцированным ассоциатором Фкг, и сплетением, индуцированным Rkz, и категорией Uh(q)-Modfr из параграфа 17.3.
Теорема 4.3 будет доказала в следующем параграфе с помощью результатов главы 18. Конструкция алгебры Aa^ и набросок доказательства теоремы 4.2 будут даны в параграфах 7, 8. А сейчас мы докажем теорему Дринфельда-Коно.
Доказательство теоремы 4.1 немедленно получается применением теорем 4.2, 4.3 и 15.4.2. Последняя означает, кроме того, что автоморфизм D определяется действием элемента Fu из {7(0)®n[[/i]]. ?
19.5. Эквивалентность Uh(q) и A0jt Мы начнем с полупростой алгебры Ли g и 2-тензора
4 A(C)-IQC-CQl ,_1Ч
t =---, (5.1)
ассоциированного с элементомКазимира С алгебры U(q). Цель этого параграфа состоит в доказательстве теоремы 4.3. Мы сделаем это в три, шага. 19.5. Эквивалентность Uh(?) и ABit
577
Шаг 1. Так как алгебра д полупроста, мы можем применить теорему 18.4.1. Это даст нам С[[/г]]-линейный изоморфизм алгебр a:Uh(g)^U (в)[[Л]], a = id (mod h), отображающий KOA Дринфельда-Джимбо в тривиальную деформацию алгебры U(g). С помощью а мы можем перенести все структурные отображения с Uh{g) на U(д)[[/г]]-В частности, мы полагаем
Отображение а становится изоморфизмом топологических сплетенных биалгебр между ?//1(0) и
Отображения Д" и Ah являются гомоморфизмами алгебр, оба сравнимые с Д по модулю h. Напомним, что, как мы видели в параграфе 5.2, U(g) ® U(g) = U(g х д). Теперь применим теорему 18.2.1 к в' — 0 х 0- Получим обратимый элемент F' Є (U(g) ® t/(g))[[/i]] такой, что F' = 1 ® 1 (mod h) и
для всех x Є tf(fl)[[/»]].
Лемма 19.5.1. Мы имеем = є.
Доказательство. Так как eh является коединицей для Ah, отображение является коединицей для Дд. Следовательно,
Ah = (a® (X)AflCX 1 и = EhCt 1.
(5.2)
(U(g)[[h]],Aah,el(a®a)(Rh)).
Al(x) = F1-1A(x)F'
(5.3)
id = (єі ® id)Al = (el ® idXF'-'AF'),
откуда следует равенство
(e?®id)A(a;) =Ixl'1,
(5.4) 578
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
где Z = (eJ*®id)(jF"). В обозначениях Свидлера мы получаем из аксиомы коединицы и равенства (5.4)
г) = ег(ХУф")) =
(х)
= e(Yeah(x')x") =
(х)
= єЦхГ1) =
= E(Z)e(Z)e(Z)-1 =
= ф). ?
Таким образом, мы доказали, что KOA (?//1(0), Azl, Єн, 1 ® 1 <8 1, Rh) изоморфна топологической сплетенной квазибиалгебре
