Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
[Aij, Aki] = О
(2.1)
для попарно различных i,j, к, I ^ п и
[Ац, Aik + Ajic] — [Ajic, Aij + AiIc] — О
(2.2)
(2.3) 19.2. Представления группы кос, происходящие из монодромии
565
Согласно параграфу 1 эта формула задает связность V = d — Г в тривиальном расслоении Yn х W, где
Г= Y^ -^-(dzi-dzj), (2.4)
іZi zi
a Yn есть комплексное многообразие
Yn = {(гь ... , Zn) є с" i г ф j Zi ф Zj],
уже рассматривавшееся в параграфе 10.6.
Предложение 19.2.1. Связность V = d — Г плоская.
Доказательство. Согласно предложению 1.2 нам достаточно показать, что кривизна К = —dT + Г А Г обращается в нуль. Так как операторы Aij не зависят от переменных z\,... ,zn, мы имеем dT = 0. Следовательно, нужно лишь проверить, что Г А Г = 0. Положим
dzi-dzj
Uij = aln(2i — zj) =--.
Zi Zj
Будем иметь
ГАГ= Y AijAkiUij Aukl. (2.5)
i<j,k<l
Правая часть формулы (2.5) равна K2 + + K^, где
Kp= Y AijAkiuij AukI, i<j,k<l
а множество индексов {г < j, к < 1} С {1,... , п} пробегает все такие подмножества мощности р. Покажем теперь, что каждое из K2, К з и Ki по отдельности обращается в нуль в силу соотношений (2.1), (2.2). Для K2 это следует из равенства Uij A Uij = 0. Рассмотрим случай K^. переставляя местами (г, j) и (к,1), мы получаем
Ki= AkiAijUkiAUij.
i<j, к<1 566
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
Правая часть равна —К4, поскольку uki A Ulj = — Uij A uki и AijAki = = AkiAij согласно (2.1). Следовательно, 2К± = 0, что означает равенство нулю К4.
Перед доказательством того, что K3 равно нулю, приведем следующую хорошо известную лемму (иногда называемую леммой Арнольда):
Лемма 19.2.2. Для любой тройки (i,j,k) различных целых чисел имеет место равенство
Uij Л Ujk + Ujk Л Uki + Uki Л Uij = 0.
Доказательство. Пусть i, j, k— различные индексы. Тогда
[ (dzi — dzj) A (dzj — dzk)
Uij A Ujk + Ujk A Uki + Uki A Uij =/2^-1— w—Z—A-'
J [Zi Zk) (Zj Zk j
O
где Yo обозначает суммирование по циклическим перестановкам индексов i,j,k. Мы имеем
левая f V—ч dzi A dz j + dz, A dzk + dzk A dzi
-/E
J <r\
часть J^ (Zi - zj)(zj - zk)
= ( [ Y^ 7-Д-Г J (dzi A dzj + dzj A dzk + dzk A dzi) =
\J V (Zi - Zj)(Zj - zk))
\J 0
dzi A dz* + dzj A dzk + dzk A dzi
-----= 0.
(Zi - Zj)(Zj - zk)(zk - Zi) ?
Вернемся к доказательству предложения 2.1. Мы все еще должны доказать, что K3 = 0. Разобьем K3 в сумму трех меньших частей: K3 = К5 + Kq + К7. Первая часть есть
K5= Y AijAikUij A uik. і<Іфк
Меняя местами j vi к, получаем
K5= Y Игл Агк] Uij A Uik. i<j<k
Аналогично,
K6 = Y AikAjk Uik A Ujk= Y, Ajk] Uik A Ujk. іфІ<к i<j<k 19.2. Представления группы кос, происходящие из монодромии
567
Последняя часть
K7 = Y [AijAjk Uij A Ujk + AjkAij Ujk A Uij) = i<j<k
= 'У ^ [Aij, Ajk] Uij A Ujk. i<j<k
Таким образом, K3 = Yli<j<kZijk> гДе
Zijk = [Aij, Aik] Uij A Uik + [.Aik, Ajk] Uik A Ujk + [Aij,Ajk] Uij A ujk.
Из леммы 2.2 и формулы (2.2) мы получаем
Zijk = [Aij, Aik] Uij A Uik + [Aik, Ajk] Uik A ujk + + [Aij, Ajk] (uik A Ujk + Uij A uik) = = [Aij,Aik + Ajk] Uij A uik + [Aij + Aik, Ajk] uik A ujk = = 0.
Отсюда следует равенство нулю K3, что завершает доказательство предложения 2.1. ?
Так как связность, ассоциированная с системой дифференциальных уравнений (2.3), плоская, определено представление монодромии фундаментальной группы многообразия Yn в пространстве W.
Замечание 19.2.3. Можно доказать, что фундаментальная группа многообразия Yn изоморфна группе крашеных кос Pn, которая определяется как ядро естественного эпиморфизма из группы кос Bn на симметрическую группу Sn. Пусть рп — алгебра Ли, порожденная множеством образующих и соотношениями (2.1), (2.2). Тогда р„-модуль W есть не что иное, как некоторое векторное пространство W вместе с семейством операторов, удовлетворяющих (2.1), (2.2). Для любого такого модуля связность, соответствующая системе дифференциальных уравнений (2.3), плоская, а значит, индуцирует представление монодромии группы Pn. Поэтому имеет смысл рассматривать алгебру Ли рп как аналог касательной алгебры Ли в единице группы Ли для группы крашеных кос Pn, а монодромию — как аналог интегрирования представления алгебры Ли до представления соответствующей группы Ли. По этой причине соотношения (2.1), (2.2) 568
Глава 19. Монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова
иногда называются инфинитпезимальными соотношениями группы кос. Другие подробности о взаимосвязи между Pn и рп см. в [Aom78], [Наі86], [Koh85],
То, что мы в действительности хотели бы получить, — это представление всей группы кос Bn, а не только подгруппы Pn. Этого можно достигнуть следующим образом. Предположим, что мы имеем левое действие симметрической группы в пространстве W. Тогда существует правое действие группы Sn в тривиальном векторном расслоении Yn x W, заданное формулой
(Z1,... ,Zn,w)<7 = (Z^1),... , Ztrin)' (t-1uj) (2.6)
для а Є Sn, (Z1,... zn) Є Yn и w Є W. Композиция отображений
Yn x W Yn -> X71 = Yn/Sn
