Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
5. Докажите утверждения из параграфа 11. 558
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
18.10. Замечания
Содержание параграфов 1-7 является классическим. Когомологии алгебр Ли были введены Шевалле и Эйленбергом в [СЕ48], следовавшими идеям Картана. Общую теорию деформаций алгебр см. в [Ger64].
Кобар-комплексы появились независимо в работах Адамса [Ada56] и Картье [Саг57]. Последнему принадлежит теорема 7.1. Мы рекомендуем читателю ознакомиться с элегантным доказательством Картье из [Саг57], которое использует резольвенты комодулей. Мы дали здесь более приземленное доказательство, основанное на бар-комплексе Эйленберга-Маклейна [ЕМ53] (см. также [SC56]). Третье доказательство дано Дринфельдом в [Dri89b, предложения 2.2 и 3.11].
Все содержание параграфа 8 принадлежит Дринфельду (см. [Dri90, параграф 3]). Заметим, что теоремы 4.1 и 8.1 неконструктивны. Было бы интересно найти в явном виде какой-нибудь изоморфизм а: Uh(g) —> U(g)[[/i]] и калибровочное преобразование F, хотя бы в случае 0 = st(2).
18.11. Добавление. Комплексы и резольвенты
Мы напомним некоторые факты из гомологической алгебры. Подробности и доказательства можно найти, например, в книге Картана и Эйленберга [СЕ56]35.
Пусть А — некоторая алгебра. Цепным комплексом левых А-модулей (C,,d) называется семейство (Cn)n^o левых А-модулей вместе с А-линейными отображениями d: Cn —> Cn-1, определенными для всех n ^ 1, такими, что dod = 0. Последнее условие означает, что образ отображения d содержится в ядре. Поэтому мы можем определить группы гомологий H,(C,,d) цепного комплекса как
И (Г » _ Kerjd-. Cn -> Cn-1)
Цепной комплекс называется ацикличным, если его группы гомологий нулевые.
35 См. также [13]. — Прим. ред. 18.11. Добавление. Комплексы и резольвенты
559
Аналогичным образом определяется коцепной комплекс левых А-модулей (С*,6), который представляет собой семейство (Cn)n^o левых А-модулей вместе с А-линейными отображениями S: Cn Cn+1 такими, что <$о<$ = 0. Группы когомологий Н*(С*,6) определяются как
Н Im(<5: Cn-1 ->¦ Cn) ' (П'2)
В обоих случаях мы полагаем С-\ = С~1 = 0.
Пусть M — левый А-модуль. Резольвентой модуля M по свободным левым А-модулям называется цепной комплекс (С., d) свободных левых А-модулей вместе с А-линейным отображением є: C0 M таким, что цепной комплекс
... C2 C1 C0 M -> О (11.3)
ацикличен. Любой А-модуль имеет резольвенту по свободным левым А-модулям.
Цепное отображение /: (С., d) (C19, d') цепных комплексов левых А-модулей — это семейство (/„: Cn —> Сп)п>0 А-линейных отображений такое, что
fnod = d'o /п+1 (11.4)
для всех п. Цепное отображение / индуцирует отображение /,: Нф(Сф, d) -4 Н,(С'9, d) в соответствующих группах гомологий.
Гомотопией между двумя цепными отображениями /,/': (C»,d) —> —> (C',,d') называется семейство h = (/in : Cn —> Cn+i)n>0 А-линейных отображений такое, что
fn-fn = d'ohn + hn^od (11.5)
для всех п (по соглашению /і_і = 0). Если между цепными отображениями / и /' существует гомотопия, то они называются гомотопными. Гомотопность является отношением эквивалентности. Гомотопные цепные отображения индуцируют одинаковые отображения в гомоло-гиях: /• = /І- 560
Глава 18. Когомологии и теоремы о жесткости
Одним из основополагающих результатов в гомологической алгебре является следующая теорема сравнения для резольвент.
Теорема 18.11.1. Пусть (C9,d) (соответственно (C't,d')) —резольвента А-модуля M (соответственно M') по свободным левым А-мо-дулям. Предположим также, что нам дано А-линейное отображение /_і из M в M'. Тогда существует цепное отображение f из (C,,d) в (C'm,d') над J-1, то есть такое, что /_ і оє = є' о /0. Если f — другое отображение над /_і, то f и f гомотопны.
Следствие 18.11.2. Пусть (C,,d) и (C'm,d') —резольвенты некоторого А-модуля M по свободным левым А-модулям. Тогда существуют цепные отображения
f:(C.,d)^(C:,d') и g-.(C'.,d')^(C.,d)
такие, что g о f и f о g гомотопны тождественным отображениям.
Доказательство. Применяя теорему 11.1 к /_і = id, мы получаем цепные отображения / и g такие, что є = є'о/0 и е' = еоg0. Далее, до f является цепным отображением из (C,,d) в себя, причем ?o(g0of0) = є. Этим свойством обладает и тождественное отображение на С». Из второго утверждения нашей теоремы мы видим, что до f должно быть гомотопно тождественному отображению. Аналогичное рассуждение работает и для fog. ? Глава 19
Монодромия уравнений Книжника—Замолодчикова
Эта глава имеет двоякую цель:
(i) Для произвольной комплексной алгебры Ли g и произвольного инвариантного симметрического 2-тензора t Є 0 <8 0 построить квантовую обертывающую алгебру Ag^ алгебры Ли 0, канонический 2-тензор которой есть t.
(ii) Дать принадлежащие Дринфельду переформулировку и доказательство важного результата Коно, состоящего в том, что если алгебра 0 полупроста, то монодромия специальной системы дифференциальных уравнений, называемой системой Книжника-Замолодчикова, эквивалентна представлению группы кос, которое строится по универсальной ії-матрице квантовой обертывающей алгебры Uh(g), введенной в главе 17. В категорных терминах рассуждение Дринфельда сводится к доказательству того, что сплетенная тензорная категория Uh(g)-Modfr модулей над алгеброй Дринфельда-Джимбо (определенной в параграфе 17.3) эквивалентна сплетенной категории модулей над тривиальной деформацией С(0)[[/г]], снабженной нетривиальным условием ассоциативности.
