Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
*** К. Ito, Nagoya Mathem. J. L., 35 (1950) and 3, 55 (1951); Arnold, Stoc-hastische Differentialgleichungen (Oldenburg, Munich, 1973).
226- нем тс. Тогда уравнение является хорошо определенным стохастическим дифференциальным уравнением в смысле положений гл. 14. В этом случае можно применять любые нелинейные преобразования с использованием обычных правил вычислений и, в частности, преобразовывать его к величине у, определенной выше, с тем чтобы получить аналог (8.8.1-2):
j=A(y) + l(t).
Теперь 1(0 можно изменить таким образом, что тс —* 0, и получить урай-нение Фоккера — Планка (8.8.13) для P {у, t). Выполняя обратное преобразование, приходим к (8.8.19). Это доказывает, что интерпретация Стратоновича уравнения (8.8.15) дает правильный предел для нулевого времени автокорреляции при условии, что предельный переход ДЛЯ I (/) имеет смысл фиксированных значениях А (у) и С (у). Это утверждение подтверждается явным вычислением в упражнении к § 14.4.
Упражнение. Запишите уравнение Ланжевена, соответствующее уравнению
Фоккера — Планка (8.7.1) для диффузии в силовом поле. Упражнение. Запишите уравнение Крамерса (8.7.4) в форме Ланжевена. Упражнение. Запишите (8.4.11) как многомерное уравнение Ланжевена и примените флуктуационно-диссипативную теорему для получения матрицы Г,у. Упражнение. Трудность с интерпретацией уравнения (8.8.15) возникает из-за сингулярной природы L (t). Покажите, что между (8.8.7) и (8.8.18) нет разницы, если функция L(Z) ограничена. Однако в этом случае (8.8.3), конечно же, не справедливо, а у (t) не может быть марковским процессом. Упражнение. Ито нашел для последнего члена в (8.8.15), что <С(</) L (t) = 0, но,
согласно Стратоновичу, <С {у) L (ф — 1J2 <С (у) С" (г/)>. Упражнение. При преобразовании у = <р(у) коэффициенты в (8.8.19) преобразуются в
А (у) = А(у)'~, С (у) = C (у) (8.8.20)
Если формально применить то же самое преобразование к не имеющему смысла уравнению (8.8.15), то получится то же самое. Следовательно, связь между (8.8.15) и (8.8.19) инвариантна относительно нелинейных преобразований.
Упражнение. То же самое преобразование, примененное к (8.8.16), дает (ср. с (8.1.9))
Щ) = А(у)дЛ+\с(у)^, С G) = C (у)дЛ. (8.8.21)
Тогда в интерпретации Ито уравнения (8.8.15) именно эти преобразования являются правильными формулами преобразований коэффициентов, а не преобразования (8.8.20), как это можно было бы ожидать при наивном рассмотрении.
Упражнение. Любое уравнение вида (8.8.15) с предписанием Ито эквивалентно другому уравнению такого же вида с предписанием Стратоновича. Найдите связь между коэффициентами в обоих уравнениях. Разность между их коэффициентами А иногда называют ложным дрейфом, но он, конечно, не имеет физического смысла. Упражнение. Многомерная версия (8.8.15)
yv = Av (у) -fCv (y)L(t),
является объектом такой же критики, если только не выполняется условие
ц
227- Найдите также соответствующее условие для
mIfv = Av (y) + ^lCvJ(y)L/(t), і
где Lj-(t)—взаимно независимые процессы Ланжевена.
8.9. КАК ПРИМЕНЯТЬ МЕТОД ЛАНЖЕВЕНА
Способ, которым Ланжевен ввел флуктуации в уравнение движения броуновской частицы, оказался очень успешным, но его нельзя распространить на нелинейные системы. В настоящем параграфе мы проанализируем трудности, к которым приводит такое обобщение. Мы хотим предостеречь читателя от весьма запутанной литературы, которую они породили, и убедить его в необходимости иметь твердо обоснованную отправную точку.
Прежде всего необходимо различать внешний и внутренний шумы *. Внешним шумом называют флуктуации, возникающие в детерминистической системе под воздействием случайной силы, стохастические свойства которой считаются известными. Стохастические задачи, возникающие в технике, относятся к такому типу (например, случайная нагрузка на мост или передача случайного сигнала через нелинейное устройство). Такие случаи описываются стохастическими дифференциальными уравнениями в гл. 14 и представляют задачи скорее математические, чем физические.
Так как флуктуирующая сила никогда не бывает настоящим белым шумом, то дилемма Ито—Стратоновича не возникает и тогда можно применять примечание, приведенное в конце § 8.8. В настоящем параграфе мы не будем рассматривать внешний шум.
Внутренний шум обусловлен тем, что сама система состоит из дискретных частиц. Он является неотъемлемым свойством самого механизма эволюции состояния системы и не может быть отделен от ее уравнения движения. Все наши примеры, относящиеся к химическим реакциям, испусканию и поглощению излучения, росту популяции и т. д., относятся к такому типу. Именно здесь возникают трудности, которые мы попытаемся проанализировать.
Броуновская частица вместе с окружающей ее жидкостью является замкнутой физической системой с внутренним шумом. Однако Ланжевен рассматривал частицу как механическую систему, подвергающуюся воздействию силы, действующей со стороны жидкости. Эту силу можно разделить на детерминистическую часть, вызывающую затухание, которую можно включить в механическое уравнение движения частицы, и случайную силу, которую он рассматривал как внешнюю, в частности это означало, что ее зависимость от времени считалась известной. Из физических соображений понятно, что эти свойства не меняются, если на частицу действуют дополнитель-
