Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
^ = + (88ЛЗ)
Во-первых, понятно, что для каждой выборочной функции L уравнения (8.8.12) однозначно определяет y(t), когда задано значение 1/(0). Поскольку значения L в различные моменты времени стохастически независимы, у—марковский процесс. Тогда он описывается основным кинетическим уравнением, которое можно записать в форме уравнения Крамерса — Мойала (8.2.6). Вычислим последовательные коэффициенты (8.2.4).
Следующее соотношение является точным следствием уравнения (8.8.12):
< + t + M
А у= S A (y(t')) dt' -f J L (t')dt'.
і t
Тогда среднее с фиксированным y(t) имеет вид
<Ду> = Л (у (O)Af+ O(Af)*-
* См. также работу: W.T.Coffey and A.Moria, J. of Physics (London), D 9, L 17 (1976).
224- Это дает первый коэффициент в (8.8.13). Далее,
, <+ д< f + д* t + &t
<(Ді/)2> = <( 5 A(y{t')fdt'\ ) + 25 dt'] dt'<A(y(t'))L(n> +
I t > t t
t + M /ч-А<
+ S dt' S dt" <L(t')L(t")>. t t
Первая строка имеет порядок (Af)2 и поэтому не дает вклада в а2. Последняя строка, как прежде, равна ГА^ и согласуется с (8.8.13). Во второй строке разложим A (y(t')):
<4 д<
2A(y(t))At J dt" <L (Г)> + t
t+\t t+\t
-t-2A'(y(t)) J df J . (8.8.14)
( t
Первый член обращается в нуль, а второй есть О (А/), потому что имеется двойной интеграл, а {«/(/') — У (0} не содержит дельта-функций. Аналогичные аргументы позволяют заметить, что высшие члены в (8.8.14) есть О (А/), а также что <(Ay)v) = 0(At) для v>2. Это доказывает эквивалентность уравнений (8.8.12) и (8.8.13).
И наконец, можно надеяться показать, что истинно нелинейное уравнение Ланжевена
y = A(y) + C(y)L(t) (8.8.15);
эквивалентно уравнению *
STl = - ТуА <»>р + T W с (у2) Р- (8-8-16)
Однако уравнение (8.8.15) в том виде, в котором оно записано, не имеет смысла. Для того чтобы увидеть это интуитивно, вспомним, что L (^) можно представить как случайную последовательность дельта-функций (ср. с (8.8.11)). В соответствии с (8.8.15) каждая дельта-функция в L(t) приводит к скачку y(t). Тогда значение у в момент времени, когда «срабатывает» дельта-функция, является неопределенным, а следовательно, значение С (у) не определено. Из уравнения не видно, какие значения у мы должны представлять: перед скачком, после скачка или, быть может, их среднее значение.
Ито** построил математическую интерпретацию уравнения (8.8.15),
* Поскольку мы ввели функцию С (у), величина Г может быть включена в нее. Тогда без потери общности мы полагаем Г=1 в настоящем обсуждении.
** К. Но, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 20, 519 (1944); Mem. Amer. Mathem. Soc., 4, 51 (1951). В математической литературе уравнение (8.8.15) называют уравнением Ито.
225- которая эквивалентна требованию, что в С (у) нужно подставлять значения у перед скачком. Это значит, что уравнение (8.8.15) нужно понимать следующим образом:
y{t + At)-y(t) = A{y(t))M + C{y(t)) S L(t')dt'. (8.8.17)
t
Значит, можно доказать*, что уравнение (8.8.15), дополненное этим правилом интерпретации, эквивалентно уравнению (8.3.16). С другой стороны, Стратонович ** интерпретирует (8.8.15) следующим образом:
t + bt
y(t + At)—у (t) = A (у (t)) At + С (0 + У (f+АО] j L(t') dt'. (8.8.18)
' t
Это делает (8.8.15) эквивалентным следующему уравнению:
Вывод, который должен сделать физик, таков: если, размышляя, он придет к убеждению, что ситуацию следует описывать уравнением (8.8.15), то обязательно сделает логическую ошибку, исключением окажется лишь случай, когда рассмотрение подскажет ему еще и правильную интерпретацию. И никакой физической проницательности не хватит для того, чтобы оправдать бессмысленную строку символов.
Примечание. На первый взгляд (8.8.15) можно свести к (8.8.12) путем деления на С (у) и введения новой переменной у= ^ d у С (у). Если затем записать
соответствующее уравнение Фоккера —Планка (8.8.13) для у и. вновь преобразовать его к старой переменной у, то можно прийти к (8.8.19). Однако это нельзя рассматривать как доказательство того, что прав Стратонович, а не Ито, потому что (8.8.15) по-прежнему не имеет смысла без дополнительного правила интерпретации. Допустимость или недопустимость привычных правил вычислений зависит от этого правила. Ито умышленно запрещает такие нелинейные преобразования у и определяет другие законы преобразований ***. Они приводятся ниже в (8.8.21).
Можно сделать еще один вывод. Предположим, L(t) в (8.8.15) заменено на стохастическую функцию |(0> которая не является настоящим белым шумом, не обладает положительным малым автокорреляционным време-
* J. L. Doob, Stochastic Processes (Wiley, New York, 1953).
** R. L. Stratonovich, SIAM J. Control, 4, 362 (1966); Stratonovich I. Ch. 4, Section 8. По поводу настоящего обсуждения см. также работы: A.H.Gray and Т. К - Caughey, J. Math, and Phys., 4, 288 (1965); R. Е. Mortensen, J. Statist. Phys., 1, 271 (1969); N. G. van Kampen, J. Statist. Phys., 24, 175 (1981). Ta же самая дилемма возникала в квантовой механике: М. Blume, J. Mathem. Phys., 19, 2004 (1978); Н. Gzvl, J. Mathem. Phys., 20, 1714 (1979).
