Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
<L (t) L (/')> = Гб (/ — /'), (8.8.3)
где Г = Const. Смысл этого выражения состоит в том, что каждое соударение является практически мгновенным и что последовательные соударения не коррелируют друг с другом.
Член, описывающий силу и обладающий свойствами 1—3, называют силой Ланжевена, а выражение (8.8.1)—уравнением Ланжевена. Мы специально включаем в это название свойства (8.8.2) и (8.8.3), потому что уравнение (8.8.1) без какой-либо конкретизации L(t) информации не содержит.
Отметим, что (8.8.2) и (8.8.3) не полностью определяют стохастический процесс L(t), а задают только первые два его момента. Полную спецификацию мы дадим в ближайшее время, но для следующего вычисления она пока не нужна.
Уравнение Ланжевена представляет собой простой пример стохастического дифференциального уравнения, т. е. дифференциального уравнения, у которого коэффициенты являются случайными процессами с заданными стохастическими свойствами. Оно определяет V (/) как стохастический процесс при условии, что задано также начальное условие. Рассмотрим равновесный ансамбль, состоящий из газа, каждая реализация которого содержит один экземпляр броуновской частицы с начальной скоростью V(O) = Vu. Для каждой реализации скорость при /> 0 находят, решая уравнения (8.8.1):
t
V (/) _= V0e-v + е-" S е*Х (/') dt'. (8.8.4)
о
Усредняя по ансамблю и используя (8.8.2), получаем
<V (фу. =Vlfi-V. (8.8.5).
Далее, возводя в квадрат (8.8.4), получаем
t t
+ dt' J d/"e+v«' + n<L(r)L(0> =
о о
= VJe-** + J-(l-e-2vO. (8.8.6)
220- Теперь мы можем определить неизвестную до сих пор константу Г, используя тот факт, что при 1/у влияние начальной скорости исчезает, а среднеквадратичное значение скорости должно быть равно термодинамически равновесному значению:
Это соотношение связывает константу Г, которая является мерой величины флуктуирующего члена в уравнении (8.8.1), с константой у.
Это соотношение является простейшим видом общей флуктуаци-онно-диссипативной теоремы. Так же как и соотношения Эйнштейна, оно получается сопоставлением зависящих от времени флуктуаций, заданных уравнением с равновесным значением, известным из статистической динамики. Физическая же картина такова: случайные скачки, описывающиеся силой Ланжевена в (8.8.1), приводят к тому, что V размывается по всей области своих значений, в то время как член, описывающий затухание, подавляет V и стремится обратить его в нуль. Равновесное распределение V возникает как результат действия этих двух противоположных тенденций.
Для того чтобы установить связь с приближением Фоккера — Планка, возьмем в (8.8.5) для t малое время Тогда из
соотношения (8.8.5) получим
< AVyv= < V (t)yVo -Va = - yV0 At +О (At)2.
Аналогично из (8.8.6) получаем
<(AV)2>[/0 = ГА/ О (А/)2.
В соответствии с (8.1.6) эти два результата позволяют дописать уравнение Фоккера—Планка для распределения вероятности
дР (У, t) д ур , Г а2/? /я я я
которое с учетом (8.8.7) совпадает с уравнением Рэлея (8.4.6). Упражнение. С помощью (8.8.4) вычислите
<V(ti) V (/,)>.
Упражнение. Покажите, что <V(/)> и <{V(/)}2>, вычисленные из (8.8.8), совпадают с (8.8.5) и (8.8.6). Упражнение. Рассмотрите гармонически связанную частицу:
X + yX + X=L(t). (8.8.9>
Найдите (X (t)y и <.{Х (t)}2) для заданных X(O), X (O). Покажите, что для значения <{Х (/)}2> совпадают со значениями, дающимися статистической механикой, если Г и у связаны соотношением (8.8.7). Упражнение. Допустим, переменные Uv удовлетворяют многомерному уравнению Ланжевена:
Mv = 2 + Lv (/),
д
221- где Avil-постоянная матрица, a Lv (/) — случайные силы, обладающие свойствами
CLv (O) = 0, <Lv (О Z-H (Г)> = Гуцб
Постройте соответствующее уравнение Фоккера — Планка. Упражнение. Скорость заряженной частицы в постоянном магнитном и случайном электрическом полях описывается уравнением
V = VAB-?v + ? (/),
где <?/ (/) ? j (t')y = C8lj8(t — t'). Найдите равновесное значение ее среднеквадратичной скорости и средний квадрат смещения *.
Упражнение. Полимер в растворе описывается уравнением **
Xn = x„+i + xn_i—2xn-\-L„ (/), <.Ln(t) Ln-(f)y = Tbnn-b(t-t').
Решите это уравнение и найдите значение \{хп (t)—Xn- (0)}2> в равновесии. Упражнение. Рассмотрите следующую упрощенную версию модели блуждающего осциллятора*** Тело движется в жидкости, а внутри него имеется затухающий осциллятор (рис, 23). Уравнения движения имеют вид
mx + $(x + X) + a2(x—X) = K(t),
MX 4-? (X-x) + yX + a2 (X-X) = -K (t) + L (t).
где К и L — независимые силы Ланжевена. Постройте уравнение Фоккера — Планка. Найдите константы Г для KnL-Упражнение. Дельта-функции в природе не встречаются. В любых физических приложениях L(t) обладает автокорреляционным временем Tc > 0. Для броуновской частицы тс по крайней мере того же порядка, что и длительность отдельного столкновения. Поэтому более физично записать вместо дельта-функции в (8.8.3) некоторую функцию <р(/ — t'), имеющую форму острого пика с шириной тс. Покажите, что это приводит к тем же самым результатам при условии, что утс < 1.
