Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
У гт + 1гт + 2 ¦ • ¦ Гу 2 pSm!(fv+lPv+l)
Jttl SmBm + l ¦ ¦ ¦ Sv v — m
Кроме того, при п = т должно выполняться (11.3.6):
Гт + ій'т+і + gm-lgLl — (r,n + gm) qln ^ — 1 ¦
Из (11.3.7) видно, что это соотношение означает прост®; Jc — Ja = Ir т. е.
лс : Jla - 1. (11.3.10)
Это подтверждает, что частица должна попасть либо* в а„ либо в с. Следовательно, вероятность того, что она не окажется: ни в: одном из этих состояний, равна нулю.
Поэтому окончательный результат таков:
«„ = -^-(1—т^Г1- І —г! ? -V- (11-3.11)
Ja/ v=m-l rVPv ' v = a+l rVPv
Примечание. Метод, использованный здесь, несколько отличается от примененного в предыдущем параграфе. Отличие связано с тем, что в предыдущем параграфе можно было применять формулу (6.10.14), описывающую время первого прохождения. Однако аналогичную формулу можно вывести и для настоящего случая. По аналогии с (6.10.11) запишем уравнение обновления:
Уп, т
(S) = Чп, т (s) + fa (s) Рп, a (s) + fe (s) Рп, с (s)>
где fa и fc — преобразования Лапласа от распределений времен первого прохождения через а и с. Отсюда следует, что
?„,*<«) = Ze(S) Ре, в (S)+ Fe (S) Ре, Г (S). (11.3.12а)
Pc т (S) = Ia (S) Pc a (s) + /c (s) рс, , (s). (11.3.126)
Эти два уравнения оказываются аналогом (6.10.14). Переходя к пределу s—>0, получим fa (0)-(- f'c (0) = 1, что совпадает с (11.3.10). Следующий порядок по s
289- дает отдельно fa (0) и fc (0). Мы предоставляем читателю провести эти выкладки и получить те же самые результаты, что и в тексте.
Упражнение. Убедитесь в том, что матрица (11.3.1) совместно с (11.3.2) является расщепляющейся W-матрицей. Упражнение. В качестве модификации диффузионно контролируемой реакции (6.7.7) рассмотрите случайное блуждание на участках л = 1, 2, ..., N—1 со связанным состоянием на каждом из концов я = 0, N. Если частица в начальном состоянии находится на участке т, то какова вероятность попасть в связанное состояние на каждом из концов? Эта задача совпадает с задачей о вероятности выигрыша одного из двух игроков, подбрасывающих монету, когда каждый из них имеет ограниченный капитал, но неограниченное время. Упражнение. Третий метод получения (11.3.11) аналогичен (5.9.8). Рассмотрите па и Jif как функции начального положения т и покажите *, что
л, (т) л, (т + 1) + —яг (т- 1). (11.3.!3)
8т'Ггт Sm^ гт
Это уравнение содержит транспонированную матрицу W и его следует решить с условием Tic (гп)=-\, л,. (0)==0. Упражнение. Покажите, что для времен t, малых по сравнению со временем перехода, выполняется следующее тождество:
m(t)nr (п).
п
Продифференцируйте его по времени и выведите таким путем (11.3.13). Упражнение. Среднее время жизни тех частиц, которые попадают в а, составляет fa (0)/fa (0). Покажите, что эту величину также можно найти не решая основного кинетического уравнения. Упражнение. Частица описывается одношаговым процессом на —ос < п < ос с начальным положением я = 0. Будем интересоваться вероятностью 2 обнаружить частицу внутри интервала 0 < N < п < M7 но нас также интересуют вероятности последнего прохода частицы через границы N или М, обозначенные Z- и Z+ соответственно. Такие задачи возникают при изучении воздействий флуктуаций тока на устройство с гистерезисом. Покажите, что эта ситуация описывается следующей системой уравнений:
M-I Af-I
г+-= 2 Pn, Z' = 2 р~п
N + 1 Л' + 1
= (Е — 1) ГпРп + (Е-1— 1) gnPn + (п -> N-j-1),
PN+I = FN+ 2/>iv+2—('¦,v+i + gA'-fi) Pn+Ь Pn (Е — 1) t'nPn + (Е _1 — gnPn 4- ^nNr N+\PN+ 1 (ж M— 1), Pm-I= ffM-гРМ-1 — (Гц-1 + gM-i) PM-1-
11.4. ПРОБЛЕМА МАЛЬТУСА — ФЕРХЮЛЬСТА
Эта модель роста популяции уже упоминалась в § 6.9. Она служит еще одним примером того, что может случиться, когда нарушено условие (9.3.4). Сначала перепишем основное кинетическое уравнение (6.9.9) таким образом, чтобы выделить зависимость от полной
* I. Oppenheim, К. Е. Shuler and G. Н. Weiss, Physica 88 А, 191 (1977).
290- территории, занимаемой популяцией, или от полного количества Q: р„ = а(Е -\)прп^(Ц-1-\)прп + ^{Е-\)п{п-\)рп. (11.4.1)
Это отдельная система уравнений для ti ^ 1. После ее решения получаем р9 из соотношения
Р« = aPl. (11.4.2)
Макроскопическое уравнение для плотности <р, как легко видеть, имеет вид (ср. с (6.9.7))
ф = ф-а)ф-уф*. (11.4.3)
Оно обладает одним устойчивым стационарным решением ф„ » — (р — а)/у, соответствующим популяции макроскопического размера
П* = Qfa = Q^p. (П.4.4)
Кроме того, имеется неустойчивое стационарное решение фь = 0. Все остальные решения стремятся к ф„. Однако ц>а не является глобально устойчивым, потому что имеется одно решение ф = фь, которое не стремится к ф„. Действительно, условие (9.3.4) не выполняется.
Мезоскопически нужно решить (11.4.1) с начальным условием Pn (0) = Srt т. Если начальная популяция т-го порядка, можно использовать Q-разложение. В результате, конечно, получается, что Pn(t) представляет собой пик шириной порядка Q1^2, положение которого определяется уравнением (11.4.3). Для больших t распределение рп превращается в стационарное распределение Гаусса относительно (11.4.4).
