Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Сначала грубое приближение. Возьмем одношаговый процесс с коэффициентами генерации g (п.) и рекомбинации г (я) такой же, как в (6.5.1). Его макроскопическое уравнение
n = g(n) — r(n)
можно записать как n=r—V (п) с
п
V(n)= 2 {Г (v)-g (v)} + const. (10.5.6)
v= 1
* R. F. Rodriguez and N. П. van Kampen, Physica 85A. 347 (1976). Другой путь получения эквивалентных результатов описан в работе: D. Ludwig, SIAM Review 17, 605 (1975).
273- С другой стороны, его стационарное распределение (6.3.8) можно записать как Р„ = ехр[—U (п)/6] с произвольной константой 0 и
п
?/(4)/0= 2 {log Г (v) —logg (v — 1)} +const. (10.5.7)
v= 1
Понятно, что потенциал V для движения не совпадает со свободной энергией U. Для того чтобы сделать это приближение более точным, подставляем вместо
g и г их Q-разложение (9.2.6). Тогда (10.5.6) дает.
ф
Пф) - 5 [рп (ф') —Vo (ф') +й-1 (р! (ф') —Yi (ф')}+ • --] ? dq)'. (10.5.8)-
С другой стороны, (10.5.7) дает 1P
U (ф)/е= J {log (po (ф') + Q-1p1 Cqp')] - log [Yo (t') + Q-1Yi (ф')ІЇ Q <Up'. (10.5.9)
Основные кинетические уравнения диффузионного типа характеризуются соотношением уо — Po- В этом случае (10.5.8) и (10.5.9) сводятся к
ф
Кф= J {pi (ф') -Yi (ф')> йф'.
Если вдобавок р0—-const, то можно выбрать 0 = ро =Yo и °ба потенциала совпадут. Это дополнительное требование означает, что в (10.1.5) коэффициент
«г, о (х) =1Mpo (*) + Yo(*)} = 6 постоянен, что свидетельствует о том, что уравнение Фоккера—Планка имеет квазилинейный вид (10.2.4).
Упражнение. Детерминистическое уравнение, полученное путем примитивного отбрасывания второго члена из уравнения Фоккера — Планка, неинвариантно относительно нелинейных преобразований х. Упражнение. Любое нелинейное уравнение Фоккера — Планка (10.1.5) можно преобразовать в квазилинейное при помощи подходящего преобразования х. Упражнение. Вращательное броуновское движение диполя во внешнем, зависящем от времени поле описывается уравнением *
df(0, t) _ 1
dt ~ sino 56
-F (9, /) f+ SinG-Ir
(10.5.10)
где 0 s? 0 < л. Преобразуйте это уравнение в квазилинейное уравнение Фоккера —Планка.
Упражнение. Покажите, что минимумы и максимумы функций U и V совпадают. Упражнение. Выведите (в низшем порядке по Q) для одношагового процесса! выражения
-L ^L
в An
ехр
1 dK
1--гт-т-. (10.5 11а)
г (п) An
AU An
Каково соотношение между U и V в случае уравнения типа (10.1.5)?
ЄХР "0 An
1+-4-ЇГГ-. (10.5.116)
g(n) An
* P. Debye, PolarMolecules (Dover Publ., New York, 1945), p. 83; [7, p. 234]; W. T. Coffey and В. V. Paranjape, Proc. Roy. Irish Acad. A. 78, 17 (1978).
274- Упражнение. Идентификация U и V неинвариантна относительно нелинейных
преобразований х.
Теперь мы применим температурное разложение к многомерному уравнению Фоккера — Планка (10.4.1) и (10.4.7)*. Сначала температурную зависимость надо задать явно. В принципе для этого нужно уточнить определение нашей системы. Но во всех наших примерах Fi не зависит от 6, a Bij — пропорционально ему: Bij (х) = Qbil- (х). Тогда удобно начать с (10.4.17):
дР div 1 . dU \ п . Q д . дР пп к юч
Предел 0^0 дает детерминистическое уравнение
x = F,.(x)-{b,(x)^. (10.5.13)
Первый член представляет собой обратимую механическую силу, а второй— затухание. Эта сила, вызывающая затухание, является частью необратимого члена в (10.4.7), которая выживает в пределе 0 = 0. Другая часть, представленная последним членом в (10.5.12), приводит к флуктуациям. Как следствие этой общей причины и затухания, флуктуации описываются одними и теми же коэффициентами bjj (х). Этот факт составляет обобщение флуктуационно-диссипа-тивной теоремы на нелинейные системы диффузионного типа. Тот факт, что матрица (х) симметрична, является обобщением соотношений взаимности Онзагера на такие системы.
Предостережение. Мысль об использовании нелинейного уравнения Фоккера— Планка в качестве общего подхода для описания флуктуирующих систем привлекала многих авторов **. Соотношение детального равновесия в своей расширенной форме сослужило полезную службу, но связь с детерминистическим уравнением приводила к затруднениям Поэтому полезно еще раз подчеркнуть следующие три предостережения.
1. Нелинейное уравнение Фоккера — Планка применимо к системам диффузионного типа, определенным (10.1.1). Для систем, подобных тем, что рассмотрены в гл. 9, оно обычно неприменимо, в лучшем случае его удается построить в качестве приближения с ограниченной применимостью (см. комментарий 10 из § 9.4).
2. Даже для систем диффузионного типа уравнение Фоккера—Планка является просто низшим членом разложения по Q.
3. Это уравнение можно связать с детерминистическим уравнением только посредством разложения некоторых других параметров, что позволяет выделить флуктуации путем разделения масштабов. Наш выбор 9 = ?Г выглядит естественно, однако он не является единственным, возможны и другие пути. Недавно было предложено разложение по постоянной Больцмана *** k. Формально оно
