Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
использовать J P log(P/Pe) dx.
Упражнение. Согласно (10.4.7), поток вероятности (10.4.2) разделяется на механическую и диссипативиую части, которые являются соответственно нечетной и четной по отношению к обращению времени. В равновесии же диссипативная часть равна нулю. Упражнение. Запишите уравнение Крамерса (8.7.4) в виде (10.4.7). То же самое
сделайте и для уравнения (8.4.11). Упражнение. Запишите уравнение диффузии (10.4.5) в виде (10.4.7) и выведите соотношение
Dij(X)-^kTlIif(X). (10.4.16)
Упражнение. Во всех этих примерах Ре(д:) = Сехр[—U (х)/6], где б = kT. Уравнение (10.4.7) можно записать в двух эквивалентных видах:
dt dx,- I ' 26 ач dx^ 2 dXjf +2 dx,- dxj lf
Упражнение. Преобразуйте (10.4.1) к новым переменным x/, = (p/i(x). Новое уравнение имеет тот же самый вид с новыми коэффициентами
л a O(P*_L 1 r da<Pfe r r d(PAd(P(
Указание. Во избежание лишних вычислений используйте сопряженное уравнение.
Упражнение. Если BiJ положительно определена, то имеется симметричная матрица Л,„, такая, что (B~1)ij=hnihnj. Если hin удовлетворяет условию
271- интегрируемости
dhin __ ethim Axm ~ dxn
TO МОЖНО ввести новые переменные С ПОМОЩЬЮ соотношения Axh = HftnAxn, такие, что BkI = ^hi- Для интегрируемости необходимо и достаточно, чтобы существовала функция Ф (х), тэка^что ^,n-Упражнение. Условие того, что это преобразование делает Ak линейным, есть
(h~l\n; {hjmAj} = постоянной матрице.
Это необходимое и достаточное условие того, что (10.4.1) можно преобразовать в линейное уравнение Фоккера — Планка.
10.5. ПРЕДЕЛ НУЛЕВЫХ ФЛУКТУАЦИЙ
Основные кинетические уравнения, относящиеся к диффузионному типу, характеризуются свойством, состоящим в том, что низкий неисчезающий член в их Q-разложении является не детерминистическим макроскопическим уравнением, а уравнением Фоккера — Планка. Можно задаться вопросом: можно ли получить приближенное детерминистическое уравнение, несмотря на то что Q уже не может служить параметром разложения? Наивный прием, состоящий в выбрасывании из уравнения Фоккера —Планка члена, содержащего вторые производные, конечно же, оказывается ошибочным: результат зависит от того, какой из эквивалентных видов (10.4.1), (10.4.7), (10.4.17), (10,4.18) мы выберем для того, чтобы изуродовать уравнение таким образом.
Единственный путь для получения хорошо определенного и физически значимого приближения вновь состоит в том, что нужно выполнить разложение по степеням физического параметра. Если мы хотим, чтобы низший порядок был детерминистическим, то парамётр разложения должен быть таким, чтобы распределение сводилось к узкому пику при малых его значениях. Понятно, что параметр Q = kT для этого подходит, потому что при низких температурах флуктуации малы. Мы покажем, что метод получения Q-разложения, использованный в гл. 9, можно приспособить для получения разложения уравнения Фоккера — Планка по степеням О1'2. Сперва мы продемонстрируем этот метод на одномерном квазилинейном уравнении (10.2.4).
Сначала возьмем 8 — 0; тогда (10.2.4) сводится к
'¦Г = Lu'(10.5.1)
Это уравнение Лиувилля для
x = — U'(x). (10.5.2>
* M.San Miguel, Z. Phys. ВЗЗ, 307 (1979).
272- Мы получили детерминистическое уравнение, справедливое в пределе низких температур. Его не надо путать с макроскопическим уравнением, которое является детерминистическим уравнением, возникающим в пределе ?2 ^oo для систем недиффузионного типа.
Далее, пусть х(ґ) —решение уравнения (10.5.2). Определим новую переменную
x = \{t) +01/2І, Р(х, 0 = П(|, t). (10.5.3)
Преобразование (10.2.4) к новым переменным дает
Члены порядка 9-1'2 сокращаются и у нас остается
f = ^(х(/))|Ш-|-~, (10.5.4)
не считая членов порядка 91/2 и выше. Мы опять получили линейное уравнение Фоккера — Планка с зависящим от времени коэффициентом для флуктуаций относительно детерминистического решения при условии, что они малы. Условие состоит в том, что температура должна быть низкой, а детерминистическое решение — устойчивым;
U"(x(t))> 0. (10.5.5)
Можно также получить последующие, более высокие порядки*.
Примечание. Свойства уравнения (10.2.4) для малых 6 и для общего основного кинетического уравнения при больших Q оказываются очень схожими. К обоим случаям применимы многие схожие идеи и методы. На разницу же между этими двумя случаями зачастую не обращают внимания. А- ведь кроме разного физического значения между ними существует важное математическое различие.
В случае квазилинейного уравнения Фоккера — Планка (10.2.4) свободная энергия U, определенная в терминах стационарного решения в (10.2.6), совпадает с потенциалом в детерминистическом уравнении (10.5.2). В гех случаях, когда нужно построить зависящее от времени решение для систем, в которых известны лишь равновесные распределения, это тождество используют в качестве доказательства. Однако мы сейчас покажем, что оно выполняется только для систем диффузионного типа, обладающих квазилинейным (т. е. в виде (10.2.4)), уравнением Фоккера — Планка.
