Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
** Здесь опять возникает дилемма Ито—Стратоновича из § 8.8.
*** P. J. Price in: Fluctuation Phenomena in Solids (R. E. Burgessed., Acad. Press, New York 1965); S. V. Gantsevich, V. L. Gurevich, and R. Katilius, Rivisia Nuovo Cimento 2, 1 (1979).
265- В нашей модели мы предполагаем, что диффузия связана со следующим механизмом. Частица с координатой х' считается захваченной до тех пор, пока из-за какого-либо воздействия не начнет двигаться вправо или влево. Обозначим соответственно ?(x') иа(х') вероятности того, что такие события произойдут за единичное время. Частица движется до тех пор, пока не попадет в следующую ловушку. Пусть вероятность захвата частицы в точке с координатой, лежащей между х и x + dx, есть Qv (х) dx. Функции а, ?, у изменяются на макроскопическом масштабе, но с увеличением Q плотность-ловушек возрастает, так что размер скачков уменьшается. С помощью тех же рассуждений, какие мы проводили в § 6.6 для вероятности того, что частица, стартуя из точки х', окажется захваченной между X и x+dx, считая, что л: > х', получаем
Qv(х)dx-ехр
Q J у (х") dx"
В масштабе значений скачка X = Qx для X yX' имеем
r(X|X') = Q? (х') у (х) ехр Аналогично, для X < X' получаем
W (XI X') = Qa (х')у(х) ехр
-Q j у(х") dx"
X' х'
-Q 5 у(х") dx"
(10.3.5а)
(10.3.56)
Значения а .и ? можно определить, обратившись к соотношению детального равновесия. Подставляя (10.3.5) в (5.6.1), получаем
? (л:') у (х) Pe {х') = а(х)у (х') Pe (х). Следовательно, величина
V(X)
Pe(X)
Y (*) v ' ' Y (*')
не должна зависеть от х. В отсутствие внешнего поля Pe (х) постоянно и, следовательно, с точностью до множителя, определяющего масштаб времени,
a (х) = ? (х) = Y (х). (10.3.6)
Подставляя это тождество в (10.3.5а), для г> 0 получаем
Tv (?)«¦'
W{X'- г) = Qy(х') у (*'+^jexp
x'
= Q {у (х')}2 е- п> <*') + [ Y (х') у' (х') г —і {y (х')У X XY' (Xr) Г2J е-тео + Оф-1).
(10.3.7)
266- Аналогичное выражение получается для г < 0. Таким образом, приходим к выводу, что W имеет канонический вид (9.2.3) с / (Q) = Q и
ф0(х; г) = {v W^e=1= (10.3.8а)
Фг(х\ г)= [у (х) у' (X) г+ 4 M*)}*Y' Wr2]eT,vU)' (10.3.86)
Два знака относятся к г > О и г < 0 соответственно. Теперь легко получить
Ctll0 (*) = 0; «!,!(*) = —2-j^s-; = (10.3.9)
Отсюда следует, что основное кинетическое уравнение относится к диффузионному типу, так что выполняется приближение Фоккера — Планка (10.1.5):
дР(X1J)
dt Q
д у'(*) р , а*
дх {у (д:)}2 1 дх% у (х)
(10.3.10)
Таким образом, мы получили нелинейное уравнение Фоккера — Планка.
Далее уравнение (10.3.10) можно записать в виде
^ = (10.3.11)
dt дх Qy (д:) дх у '
Это уравнение имеет вид (10.3.2) с D (х) = 2/(Qy (*)). В уравнении, записанном в таком виде, переносной член отдельно не выписан, однако перенос по-прежнему есть, о чем свидетельствует
<Ьх>х___2 у' (л)
At ~ Q {у (*)}2
Упражнение. Запишите (10.3.11), (10.3.2), (10.3.3) в трех измерениях и учтите
анизотропную диффузию, взяв D в тензорном виде. Упражнение. Покажите, что любое уравнение Фоккера — Планка, обладающее постоянным равновесным распределением, можно записать в виде (10.3.2). Упражнение. Если в приведенной выше модели не постулировать никакого частного вида Pe, то вместо (10.3.11) получится
дР(х, t)_ 2 д Pe(X) д P (х, t) .10 3 19?
dt Q дх у(х) дх Pe(X) ' и '
Упражнение. Включите в настоящую модель внешнее поле, как в (10.2.4). Упражнение. Найдите следующий порядок после (10.3.10).
Упражнение. Запишите явное выражение для основного кинетического уравнения, согласующегося с (10.3.7). Выведите из него точное уравнение
ПОЗ 13)
dt Q дх у дх ~ Q2 дх у дх у дС к '
Используйте это соотношение для нахождения следующего порядка после (10.3.10) и проверьте таким путем результат, полученный в предыдущем упражнении.
267- 10.4. УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ В СЛУЧАЕ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Наиболее общий вид нелинейного уравнения Фоккера — Планка в случае г переменных Xi (t = 1, 2, . . ., г) таков:
(10-41)
Здесь X обозначен набор {л:,}, а суммирование подразумевается по всем повторяющимся индексам. Матрица Bij(X) симметрична и положительно определена*. По-другому это можно записать следующим образом:
W = -Wr '' = Мх)Р-±?ви(х)Р. (Ю.4.2)
где Ji (х, t) — поток вероятности в г-мерном пространстве.
Стационарное решение найдем из уравнения
° = + 00-4.3)
Физически очевидно, что, для того чтобы P было стационарно, дивергенция J должна обращаться в нуль. Однако отсюда нельзя сделать вывод, что стационарное состояние содержит замкнутое течение с ненулевым ротором. Тогда в отличие от одномерного случая не всегда удается найти даже стационарное решение уравнения (10.4.1) **.
Подобной трудности не возникает в случае замкнутых изолированных физических систем, потому что из обычной статистической механики известно, что для таких систем существуют стационарные решения, соответствующие термодинамически равновесному распределению Pe (х). Это предполагает наличие некоторых сведений относительно Ai и BiJ, однако информация будет еще более полной, если известно, что выполняют соотношения детального равновесия (5.6.1) или расширенного детального развития (5.6.14). Поэтому в дальнейшем будем исходить из следующих предположений.
