Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Проведем соответствующие вычисления:
2 4п2v2 о2 п о2
--------~<W> = ——Uv.
3 тс3 3 т v
Тогда
Uv = -^-v2<W>. (8.32)
Используя связь (8.11) между плотностью Uv энергии электромагнитного поля и испускательной способностью rvT черного тела, находим
rvT = ^T^<W>. (8.33)
сА
Необходимо осмыслить полученные результаты и их физические следствия. Доказано, что плотность Uv электромагнитной энергии и пропорциональная ей испускательная способность rVyT
420
черного тела нацело определяются произведением квадрата частоты и средней энергии осциллятора <W>. Следовательно, прежде всего надо выяснить, от каких параметров зависит <W>.
На первый взгляд, это рассмотрение не может представить каких-либо затруднений. Хорошо известно, что по закону равнораспределения кинетической энергии по степеням свободы, являющемуся одним из фундаментальных соотношений классической физики, на каждую степень свободы исследуемой системы приходится кТ/2. Осциллятор имеет кинетическую и потенциальную энергии и можно считать
<^ГКИН> ~ <^пот> = <W>/2 .
Следовательно, его средняя энергия <W> — kT, где k — постоянная Больцмана (к — 1,38 • 10-16 эрг/К), а Т — температура внутри полости.
Напомним, что этот результат сразу получается из применения теоремы Больцмана для вычисления среднего значения интересующей нас величины — энергии осциллятора. Для этого необходимо просуммировать по всем непрерывно изменяющимся значениям энергии W ее произведение на относительную вероятность ехр[—W/(kT)] того, что в равновесии встретится состояние, характеризуемое этим значением энергии, и отнести этот интеграл к нормирующему множителю, получающемуся при суммировании относительной вероятности по всем значениям непрерывно изменяющегося значения W:
}Wexp[-W/(kT)]dW <W> = j-----------------• (8.34)
j exp[-W/(kT)]dW о
В результате вычисления интегралов в отношении (8.34) легко получается <W> = k,T. Подставляя это значение <W> в (8.32) и (8.33), окончательно получаем:
8яу2 2nv2
Uv^—^-kT, rVtT=—^-kT. (8.35)
Эти выражения называют формулой Рэлея—Джинса в честь двух известных физиков, занимавшихся решением данной задачи .
421
Напоминаем читателю, что формула (8.35) была получена применением к равновесному тепловому излучению законов термодинамики и теоремы Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы. Очевидно, что полученные соотношения удовлетворяют термодинамической формуле Вина (8.6). Для
. 2 nk Т
того чтобы удостовериться в этом, положим F(v/T) = —5- —.
с1 v
Тогда в соответствии с (8.35)
rViT = v3F(v/T) = -^2~v2 kT.
Однако не представляет труда доказательство того, что формула Рэлея—Джинса резко противоречит опытным данным. Действительно, оценим, пользуясь формулой (8.35), значение Дэн — интегральную энергетическую светимость черного тела:
Дэн =
2 71
n,dv = —5- kT
ft dv -*¦ 00. (8.36)
Интеграл в правой части выражения (8.36) равен бесконечности, и, следовательно, Дэн (при Т Ф О К) также стремится к бесконечности. Это значит, что при любой температуре, отличной от О К, не может быть достигнуто равновесие и энергетическая светимость черного тела вопреки опыту будет бесконечно велика.
Для того чтобы более полно разобраться в пределах применимости формулы Рэлея—Джинса, запишем ее в другой форме, перейдя в выражении (8.35) от частот к длинам волн:
п\ =
dv
Гу~АХ
2 tic
“XS-W- (8.37)
Зависимость (8 .37) показана пунктиром на рис. 8 .10 по сравнению с кривой г\ для черного тела, отлично согласующейся с данными опыта. Лишь в далекой инфракрасной области спектра можно обнаружить соответствие между экспериментальной кривой и формулой Рэлея—Джинса, а для излучения более коротких длин волн наблюдается резкое расхождение результата, полученного применением классической теории и данными опыта. В частности, из формулы Рэлея—Джинса следует, что вопреки опыту для любой температуры г;. -+ °° при X ¦* 0.
422
Эти расхождения теории и эксперимента, обнаруженные на рубеже XIX и XX вв., получили хлесткое название «ультрафиолетовая катастрофа» и явились серьезным предостережением, далеко выходящим за рамки задачи о построении универсальной функции ДА.,Г) = ГЛ'Т-Смысл общего вывода заключается в том, что вся классическая физика имеет определенные границы применимости и использование ее законов и методов вне этих границ приводит к противоречию с опытом, являющимся основным критерием правильности той или иной теории.
Что касается конкретной задачи о согласовании теории равновесного теплового излучения и эксперимента, то тут создалась ситуация, которая хорошо характеризуется образным высказыванием знаменитого физика Лоренца:
«Уравнения классической физики оказались неспособными объяснить, почему угасающая печь не испускает желтых лучей наряду с излучением больших длин волн. . .» .
Многочисленные попытки найти выход из этого тупика не приводили к успеху вплоть до начала XX в., когда М. Планк сформулировал гипотезу дискретных квантов энергии, последовательное развитие которой многими физиками (в первую очередь А.Эйнштейном и Н.Бором) в дальнейшем привело к определению границ применимости классической теории и созданию новой квантовой физики, громадное значение которой для развития всех естественных наук общеизвестно.
