Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
йэ„ = П АХ = аТ*. (8.13)
В этом равенстве постоянная величина ст определена из данных опыта. Она равна 5,7 • 10-16 Вт/(м2-К4). Следует отметить, что закон Стефана—Больцмана неприменим к телам, которые не являются черными. Для таких тел значение ст с ростом температуры не будет оставаться постоянным, и трудно аппроксими-
409
роьать экспериментальные кривые указанной зависимостью Т4. Заметим, что энергетическая светимость нечерных тел всегда меньше энергетической светимости черного тела при данной температуре.
Закон смещения Вина. Произведение длины волны Амакс, соответствующей максимуму излучения, и температуры черного тела остается постоянным при изменении его температуры:
Амакс Т = Ъ. (8.14)
Постоянная b = 0,2886 см • К определена из опытных данных.
Согласно закону (8.14), значение ХмаКс уменьшается с ростом температуры. Следовательно, происходит смещение максимума кривой гд в сторону коротких длин волн. Эту особенность черного тела иллюстрирует рис. 8.1, на котором изображены спектральные зависимости для двух значений температуры черного тела, отличающихся в два раза. Заметим, что кривые на этом рисунке построены для температур 3000 К (/) и 6000 К (II), примерно соответствующих температуре нити мощной лампы накаливания (I) и Солнца (И). При повышении в два раза температуры излучателя максимум излучения переместился из инфракрасной области в оптимальную для визуального наблюдения зеленую часть видимого спектра (X. * 5000А), где, как известно, чувствительность глаза наибольшая. Площадь кривой, характеризующая интегральную энергетическую светимость, при повышении в два раза температуры возросла в 16 раз.
Закон смещения (так же как закон Стефана—Больцмана) применим лишь к черным телам. Однако для некоторых нечерных тел отклонение максимума кривой гд от АмаКс> измеренного при этой же температуре черного тела, оказывается относительно небольшим. Этим обстоятельством пользуются для измерения температуры некоторых нечерных тел.
Заметим, что максимальная ордината кривой гд с ростом температуры возрастает еще быстрее, чем площадь, ограниченная указанной кривой и характеризующая энергетическую светимость черного тела:
(о)макс ~ тъ. (8.15)
Как уже указывалось, закон Стефана—Больцмана и закон смещения Вина являются обобщением экспериментов по исследованию зависимости светимости черного тела от длины волны и температуры. В то же время они вполне согласуются с охарактеризованной выше термодинамической теорией равновесного теплового излучения. Для уяснения этого получим законы черного тела из термодинамической формулы Вина (8.6).
410
Обозначим отношение \/Т = Тогда dv = Td? и
Я,
rvdv =
^3F(v/T)dv = Т4
(8.16)
Интеграл (8.16) не может быть вычислен без дополнительных предположений о виде функции F(Z), но бесспорно соответствие выражения (8.16) зависимости Дэн ~ Т4, выражающей в общей форме закон Стефана—Больцмана. Более того, выбрав ту или иную функцию F(E), можно сравнить значения интеграла в выражении (8.16) и экспериментальной величины ст и оценить степень достоверности развитой теории. Заметим, что именно так поступил Планк при первичной оценке введенной им константы h, определяющей квант энергии (см. § 8.3).
Для того чтобы перейти от термодинамической формулы Вина (8.6) к закону смещения (8.14), решим задачу на экстремум функции гд. Вычислим производную дгх/дХ и, приравняв ее нулю, получим значение А.макс как функцию температуры:
dv с с 3 с с4 с
4 Tv dA. *2 F XT — к F X5 XT
Продифференцируем по длине волны X полученное выражение:
с4 С F1 с 5 с4 с
^5 X2 Т XT “г „ ' V А.6 XT
(8.17)
Сократив оба члена равенства (8.17) на с4/А6 и обозначив с/(XT) = %, найдем
т® + 5 т = о. (8.18)
Из-за неопределенности функции F(?,) решение этого уравнения невозможно. Однако бесспорно, что если решение существует, то в результате должно получиться некоторое значение % = c/(XKSLKCT) = const, определить которое в рамках термодинамики нельзя. Таким образом, получена зависимость (8.14), постулируемая законом смещения Вина. Так же как и при исследовании закона Стефана—Больцмана, открывается возможность проверки правильности выбора F(q) сравнением решения этого уравнения с опытным законом Вина (8.14).
411
Обратимся к практическим приложениям рассмотренных законов. В этом плане их значение заключается в возможности использования модели черного тела в качестве эталонного источника света, светимость которого вполне определенным образом зависит от длины волны и температуры. Для такого источника можно, измерив интегральную энергетическую светимость или длину водны, соответствующую максимуму излучения, определить его температуру. Такие измерения, основанные на использовании законов черного тела, совершенно законны, и в хорошем приближении погрешность измерения температуры зависит лишь от воспроизводимости измерений R3н или А.макс. На практике, как правило, используют источники света, испус-кательная способность которых в той или иной мере отличается от испускательной способности черного тела, а произведение ^мзкс 1" не равно константе Ь, определенной из опытов с черным телом. Использовав законы черного тела для определения температуры этих нечерных тел, в измерения вводят дополнительную погрешность, имеющую характер систематической ошибки.
