Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Запишем выражение для WH3JI — суммарной энергии, излучаемой осциллятором во всех направлениях за 1 с (мощность излучения). Для этого воспользуемся формулами, приведенными в § 1.5:
^изл = - (8 • 19)
416
j\zie jPo — амплитудное значение электрического Момента (Р = = ql), to — частота свободных колебаний осциллятора.
Мощность излучения ^изл легко связать со средним значением энергии осциллятора:
<W> = <wnoT> + <WKHH>. (8.20)
Используя формулы (1.41), имеем
2 оо 2о2
= ——t<w>¦ (8-21>
3 тс6
Важно отметить, что вследствие потерь энергии на Излучение (при отсутствии вынуждающей силы) осциллятор будет затухающим и скорость затухания колебаний определяется его добротностью Q. В соответствии с (1.41)
2п <W> сo<W>
у ИЗЛ Q
Для данной задачи (свободные колебания осциллирующих
зарядов при наличии затухания) можно записать следующее
уравнение движения:
х + ух + ш\х = 0. (8.23)
При малом затухании решение такого уравнения х = х0е~у*/2 cos(co* + (р), а выражение для мощности
W(t) = Woe-r*.
По определению [см. (1.41)], добротность Q связана с мощностью соотношением
2nW со
Q = --------;---- = — . (8.24)
(—dW/dt)T У
Подставив выражение (8.24) в исходную формулу (8.22), имеем
417
^изл = y<W>.
(8.25)
Сравнивая (8.21) и (8.25), замечаем, что коэффициент затухания зависит от заряда и массы осциллирующих частиц и пропорционален квадрату частоты свободных колебаний осциллятора: у = 2a2qz/(3mc3).
Несколько изменим постановку задачи, приблизив ее к изучаемой проблеме. Пусть осциллятор находится в равновесии с электромагнитным полем равновесного излучения, изотропно заполняющим при некоторой температуре замкнутую полость. Тогда осциллятор будет совершать не свободные, а вынужденные колебания, т.е. он не только излучает энергию, но и поглощает ее из окружающего пространства. Для простоты будем рассматривать колебания зарядов под действием монохроматического излучения частоты со. В этом случае вынуждающую силу запишем как реальную часть: Re F(t) = Re qE0x e~llot = ^oxcos соt. Тогда уравнение движения имеет вид
х + ух + со2* = 2?0хcosco*• (8.26)
Будем искать частное решение этого уравнения, которое описывает установившиеся колебания:
x(t) = Rexoe~‘Mt, x(t) = Re(—icuxое~ш).
Для амплитудного значения xq получаем выражение, которое было использовано при объяснении хода коэффициента преломления вблизи линии поглощения:
*о =
ч^ох/
т
з2)+гуа
(8.27)
Для того чтобы найти ^ПОГЛ(со) — мощность монохроматического излучения, поглощаемую осциллятором, вычислим ин-. теграл вида
Т т
W
гг п
.(со) =
F(t) i(*)d*
1_
Т
qE0xx(t)cosatdt =
418
= Л*_Ег ч®2_________________
2т 0х (со2—со2)2+у2со2
(8.28)
, Получена зависимость (8.28) поглощаемой осциллятором мощности от амплитуды Eqx воздействующей на него монохроматической волны. Для перехода к произвольному электромагнитному полю следует выразить поглощаемую мощность через энергию этого поля, учитывая, что в этом случае колебания Е происходят не только вдоль оси X, но и по осям Y и Z. При этом
<Е2> J_El = 1 Е20х+Е1и+Е20г = 3 Е2х 4л 2 4п 2 4п 2 4п
Несколько сложнее получить выражение для энергии, поглощенной осциллятором, в реальной задаче, когда действующее на него излучение не является строго монохроматическим, а распределено в спектральном интервале 5со с плотностью Um. При этом Еох в формуле (8.28) должно быть заменено 8пиш 5со/3 и полную мощность, поглощаемую осциллятором на всех частотах, можно получить интегрированием по со в пределах (0, <»):
8п д2
W,
погл 3 2 тп
a2U'"da (8.29)
(со2--С02)2+у2С02
Ряд соображений позволяет существенно упростить вычисление этого интеграла. Подынтегральное выражение состоит из двух сомножителей: медленно изменяющейся функции Uw и выражения со2/[(м2 — озо)2 + у2а2], имеющего при достаточно большой добротности острый максимум вблизи со = coq . Поэтому функцию иш можно в окрестности со = coq заменить постоянной величиной Ua и вынести из-под знака интеграла. Для того чтобы еще упростить вычисления, положим со + coq = 2coq, т.е. (со2 — еоо)2 = = 4co^(m — ff>o)2 • Учтем также, что далекие крылья функции поглощения практически не дают никакого вклада в суммарное поглощение. Это позволяет заменить пределы интегрирования в выражении (8.29), сведя задачу к вычислению интеграла
dx п
х2+а2 а
— ОС
После всех этих упрощений получаем
419
2n q
W =------------------------У ию
"погл з 2т 0
-------Ё2----- = v . (8.30)
(со—со0)2+(у/2)2 Зт 0
Окончательное выражение для энергии, поглощаемой осциллятором, на который действует излучение с плотностью Uv, распределенной в интервале частот dv, просто получается из (8.30). Как известно, • Um = Uv/(2n). Следовательно,
2
Wnorjl = juv . (8.31)
Теперь можно подвести итоги всем проведенным вычислениям и оценкам. Осциллятор, находящийся в электромагнитном поле, спектральная плотность энергии которого Uv, непрерывно поглощает мощность в количестве, определяемом выражением (8.31). В то же время он излучает по всем направлениям мощность, определяемую произведением коэффициента затухания и средней энергии <W> [см. (8.25)]. В условиях равновесия надо приравнять излучаемую мощность той мощности, которую осциллятор забирает от воздействующего на него электромагнитного поля. Это позволит получить искомую связь между плотностью энергии поля Uv и средней энергией осциллятора <W>.
