Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Исследуем эту задачу несколько детальнее. Введем следующую случайную величину:
Дачу.
1 с вероятностью 1 — aAt 1 с вероятностью aAt,
(і)
104
и рассмотрим последовательность таких независимых случайных еєличин b1, е21 bn-1. Каждая из них имеет распределение (1), и все они независимы. Иначе говоря, мы имеем несимметричную монету, и E11 E21 bn-1 представляют результаты п — 1 независимых бросаний. Теперь мы можем очень легко записать положение частицы. Если частица начинает движение из начала координат в положительном направлении, то тогда
Sn - vM (1 + b1 + b1b2 + ... + b1b2... bn-1). (2)
Действительно, при первом шаге частица, несомненно, пройдет путь V в положительном направлении. Теперь бросаем монету. Скорость, которая до этого момента равнялась V1 станет равной E1V1 т. е. останется без изменения или изменит свое направление, в зависимости от результата бросания монеты. При втором шаге, следовательно, частица пройдет дополнительное расстояние E1V^t. При дальнейших шагах дело обстоит аналогичным образом, и поэтому нетрудно понять, как возникает формула (2). Если бы частица начинала движение в отрицательном направлении, то тогда ее положение равнялось бы
Sn=—V M (1 + b1 + b1b2 + ... + b1b2... bn-1)= — 5П.(3)
Можно было бы объединить обе эти формулы в одной, считая, что начальное направление мы выбираем случайным образом. Мы, однако, вместо того чтобы поступить подобным образом, рассмотрим две функции:
FZ(X) = (V(X+ Sn)), (4)
Fn(x) = (<p(x-Sn)\, (5)
и приступим к выводу рекуррентных формул для этих функций. Прежде всего напишем
Fn(x) = <ф[> + V M + V AtE1 X
X (1 + е2 + b2b3 + . . . + b2b
)]>. (6)
Прошу заметить, что b1 вынесено за скобку. Среднее значение является здесь взвешенной суммой по всем возможным последовательностям b1, b2, вп_х.
Веса диктуются распределением вероятностей.
105
Среднее значение мы можем вычислить в два этапа: сначала мы можем вычислить среднее по отношению к ех, а затем по отношению к остальным є. Итак, вычислим сначала среднее по отношению к гг. Эта случайная величина принимает значение —1 с вероятностью а At и значение +Ic вероятностью 1 — а At. Мы можем, следовательно, написать
Fn-(X) = а At (ф [х + V At —V At (1 +е2 + е2е3 + .. .)]> + +(1- а At) <ф [X + V At + V At (1 + є2 + еае8 +.. .)]>.(7)
Присмотримся к написанному. Среднее значение имеет тот же самый вид, что и раньше, с той разницей, что X заменено на x + v Atn п заменено на п—1. Это замечание позволяет нам написать формулу (х) = a AtFn- tix + vA^ + ii—aAt) F^1 (х+ vAt).{8)
Совершенно аналогично получаем другое соотношение:
Fn (x)=aAtF^_x(x—v At) + (1—аМ) Fn^1 (х — г;Д*).(9)
Итак, мы имеем систему рекуррентных формул.
Теперь, идя давно принятым путем, следует перейти от этих разностных уравнений к дифференциальному уравнению, применяя предельный переход при At->0. Я буду предполагать, что все математические трудности при переходе к пределу (которые обычно представляют наибольшее препятствие) можно преодолеть. Моя лекция представляет собой только введение, а поэтому я буду считать, что все формальные переходы можно обосновать. Чтобы перейти от дискретного случая к непрерывному, заметим прежде всего, что п измеряет время. Действительно, п есть число шагов, а п At является временем. Нам надо осуществить предельный переход At -> 0, но п At должно остаться равным нашему времени t.
Перепишем теперь соотношение (8):
At At
— oFi-x(x+ V M) + CiFn^1(X + V At). (10)
106
Мы можем теперь перейти к пределу, в результате чего получим
8F+ OF+
Тут п уже не фигурирует, поскольку мы перешли к пределу. Из соотношения (9) мы получаем аналогичным образом
!ж = -*ъг + ар?-аг-- <12>
Существует известная аналогия между этими двумя уравнениями и линейным уравнением Больцмана. Я не буду долее задерживаться на этой аналогии, однако вы можете сами найти члены, обусловленные потоком, а также члены, обусловленные столкновением со средой. Действительно, эти уравнения и уравнение Больцмана выражают законы сохранения. Просто вы компактным образом записываете тот факт, что частицы не исчезают.
Удивительно то, что эти два линейных уравнения первого порядка можно соединить, образовав гиперболическое уравнение. С этой целью введем две новые функции:
F = 1 (F+ + F)-, G = ^(F+- F-). (13)
Сложим теперь почленно уравнения (11) и (12). Применяя новые обозначения, мы получим"
dF OG /л /ч
Tt = V dx' (14)
Затем, вычитая почленно уравнение (12) из (11), получим
K = V^-TaG. (15)
Теперь надо исключить функцию G. Чтобы это сделать, продифференцируем (14) по t, а (15) по х. Далее все становится очевидным, и мы получаем
V dt* ~~V dx* V dt' Это очень хорошо известное уравнение, а именно —
107
телеграфное уравнение. Мы теперь должны указать, каковы начальные условия. Следует помнить, что функция F+ возникла из функции Fn, определенной формулой (4). Sn — это положение, которое займет частица по истечении времени п Av1 мы хотим, чтобы это время было равно нулю. Следовательно, в пределе Fn (х) становится просто равной ф (х). То же самое справедливо для Fn (х) и, следовательно, мы получаем
