Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Интересно заметить, что (это легко видеть) сужение такого распределения не равняется просто
Это равенство не может удовлетво-
J с (х) dx
— со
ряться, так как в противном случае мы могли бы взять за с (х) функцию, которая достаточно быстро растет до оо, так что интеграл расходится. Но все-таки сужение должно быть функцией плотности, т. е. функцией, интеграл от которой равняется единице. Таким образом, что-то должно спасать положение, и любопытно, что его спасает множитель е— z0X^ Где Zq мы получаем, решая уравнение (96). Это уравнение имеет ярко выраженный физический смысл. Действительно, оно означает, что суженное распределение должно быть таким, чтобы дисперсия была равна средней энергии, приходящейся на частицу.
Второй пункт, который я хотел бы здесь обсудить, является гораздо более интересным. Мы уже видели, что если мы будем начинать с хаоса, то можем заменить — для наших целей — М-уравнение нелинейным уравнением Больцмана. Мы тогда проверили, и, к нашему удивлению, даже доказали, что
91
возможность такой замены заключается в том, что мы исходим из очень специального начального распределения, а именно, из хаоса. Но начальных распределений может быть очень много. Между ними существует одно особенно интересное, которое мы теперь и обсудим. Будем исходить из распределения, имеющего в нулевой момент времени вид
Фя(Я, 0)= c(xl> . (104)
^ с (X1) da
Присмотримся к нему ближе. Это распределение зависит только от одной переменной, по отношению к остальным переменным оно постоянно. Оно представляет собой вполне хорошую функцию. Эта функция положительна или неотрицательна, и интеграл от нее равен единице. Физически это означает, грубо говоря, что все частицы, за исключением первой, уже находятся в тепловом равновесии. Мы просто выводим одну частицу из этого состояния. Пусть это будет, скажем, исключительно быстрая частица, тогда как остальные частицы, весь оставшийся газ, находятся по-прежнему в состоянии равновесия.
Найти последовательно сужения этого распределения очень легко. Надо только вычислить площадь поверхности (тг — 1) -мерной сферы радиуса У~п — х2. Легкие вычисления дают нам для этих сужений следующие формулы:
/ кім *і Vя-3>/2
с (xi) 1 —Ч / ч ~ т
4(П) /„ Пч _ \ п)__^ , с (X1) Є
с (X1) (1 — ~~\П 3) '1 &х \ 0 (xi) е 2 dx
(105)
/!n) (? 0) = J' п]-~-±=е-Ъ. (106)
X,\(п -3)/2
3-Y-3)/2rf,
п
У 2я
Для остальных частиц сужения те же самые, что и для xv Это — распределение Максвелла. Если мы
92
говорим, что только одна частица не находится в состоянии равновесия, то это не вполне соответствует истине. Вспомним, что функция ф (R) относится к целому ансамблю возможных систем. На поверхности энергии Ii Xk = п каждая точка соответствует одной системе. Функция ф (R) дает, следовательно, вероятность выбора какой-то конкретной системы среди всех таких систем. Это следует представлять себе так: мы имеем множество коробок, каждая из них наполнена газом, и все они находятся в равновесии. В каждую коробку мы впускаем одну частицу— непрошенного гостя. В этом всегда состоит трудность в статистической механике. Нас всегда интересует, что происходит с каким-либо одним газом, но мы соглашаемся на рассмотрение целых их совокупностей. Итак, плотность ф(Д) относится в действительности ко многим системам: она является распределением по отношению ко всей этой совокупности. Говоря менее строго, мы имеем в нашем случае находящийся в равновесии газ, в который мы ввели частицу. Указанная частица при этом не имеет соответствующей средней скорости. Мы, однако, не можем говорить об одной частице, как о не имеющей соответствующей средней скорости: мы всегда имеем в виду их совокупности.
Хотелось бы теперь узнать, как устанавливается равновесие. М-уравнение все еще является верным. Единственная разница между той ситуацией, которую мы имеем в данный момент, и предыдущей состоит в разных начальных условиях. G другой стороны, все наше внимание будет, очевидно, привлечено к сужению относительно первой частицы. В самом деле, со всеми остальными частицами ничего нового не произойдет. Итак, каково же уравнение, управляющее эволюцией первого суженного распре-„ деления? Это также уравнение
тоавдние Больцмана, по крайней мере оно
Больцмана известно как таковое, только на
этот раз оно линейное. Его можно легко получить, интегрируя М-уравнение (72). Трудностей здесь нет никаких. Опуская индекс 1
93
и переходя к пределу при п ->оо, получаем
OO я
"7? I dy \ ?(e){/(xcos8 + ^sin6> Ox
— оо - я
Г (~-х sin 6 + ту COSO)2I х/ л\ I У2\\ ю Xexpl — і-^-Ч —*)ехР *
" (107)
Это искомое линейное уравнение Больцмана. Мы видим, что оно имеет вид, в некотором смысле похожий на уравнение, рассмотренное ранее. На этот раз ситуация совершенно иная. Ведь теперь мы следим за частицей с номером 1. Изменение в ее собственном распределении скоростей не имеет никакого влияния на окружение. Действительно, распределение скоростей всех частиц из окружения остается максвел-ловским, несмотря на происходящие столкновения. Это означает, что влияние на окружение равно нулю. Впрочем, в равновесии остаются оставшиеся п — 1 частиц, исключение представляет лишь та одна, о которой идет речь. Тот факт, что во всей мешанине одна частица отклоняется от этого режима, не играет большой роли. Наоборот, в случае, когда мы исходили из хаотичного распределения, каждое столкновение изменяло также распределение окружения.
