Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Такое правило кажется удивительным, но, собственно говоря, это не должно нас удивлять. Некоторые вещи, которые кажутся нам удивительными, когда мы рассматриваем их исключительно с точки зрения дифференциальных уравнений, становятся очевидными при иной интерпретации. Рассмотрим, например, теорию кабеля, в которой применяется
114
уравнение (16). Если мы в одном месте поместим заряд и позволим ему двигаться, то тогда по истечении некоторого времени мы получим дельта-функцию в двух точках с некоторым непрерывным распределением между ними. Дельта-функции, которые убывают показательно, соответствуют просто частицам, которые еще не испытали столкновений. Непрерывная часть соответствует, очевидно, частицам, которые испытали много столкновений и полностью смешались. При этом наше решение (26) становится очень естественным.
ЛЕКЦИЯ СЕДЬМАЯ
Я теперь набросаю доказательство, которое, однако, полностью меня не удовлетворяет. Его следует назвать, пожалуй, не изящным, так как в нем слишком много вычислений. Чувствуется, что здесь вообще не следует вычислять. Я хотел бы также обратить ваше внимание на то, что мы сделали не слишком много, если не считать, что мы нашли интересный способ записи решения. Позднее мы поступим подобным же образом с некоторым параболическим уравнением, с той лишь разницей, что в этом случае можно будет воспользоваться новым вероятностным средством для получения важных аналитических результатов.
Вычисления, которые мы здесь приведем, позднее нам потребуются. Докажем формулу (26) для «хороших» (в известном смысле) функций ф. В частности, предположим, что функцию ф можно представить в виде интеграла Фурье:
OO
^) = І S ^GWE- (29)
-OO
Если мы подставим это выражение в (26), то формула, которую мы хотим доказать, примет вид
OO t
115
Разложим фигурирующий здесь косинус в степенной ряд:
*-ф<(\<-*>"'" *)¦>+
+ ^<(І (-1)"«*)')+••¦ (31)
0
Содержащиеся здесь средние, как вы хорошо знаете, называются моментами. Это моменты нашего удивительного «рандомизированного времени». В данном случае фигурируют только четные моменты. Однако я покажу вам, как вычисляют первый момент. Это можно сделать непосредственно, поскольку можно изменить порядок нахождения среднего значения и интегрирования:
/ t
< Jj (_ IfM dx) = J < (- lf(т) >dx- (32)
(Это можно легко обосновать. Нахождение среднего значения является также интегрированием — интегрированием по пространству всех функций TV (і). Таким образом, вопрос сводится только к изменению порядка интегрирования). Дальнейший путь прост, поскольку мы знаем распределение случайной величины N (і). Его дает формула (21). Следовательно, из определения среднего значения, или математического ожидания, если угодно, получаем
OO
«> =2(-1)?-'^. (33)
к— О
Этот ряд легко вычислить, не правда ли? Если вынести е~~ах за знак суммы, то тогда то, что останется, представляет ряд для е~~ ах и <^ (—I)^OO ^> =е~ 2ах.
Мы можем, следовательно, вычислить первый момент
/ t
Jx1 (*) = (і (_ 1)N W dx) = [ е~2ахdx. (34)
116
Немного труднее вычислить второй момент. Воспользуемся здесь часто применяемым приемом, а именно, запишем квадрат интеграла в виде двойного интеграла, вводя две переменные:
<( І(-if™ dx)2) = ({{ (-if™ (-1)№<Чм*.>.
о ' U (35)
Справа мы имеем интеграл, взятый по квадрату. Поскольку подынтегральное выражение симметрично по отношению к переменным T1 и т2, мы можем интегрировать только по половине квадрата и результат умножить на 2:
2!< \\ (-if {Xl)(-if™ (It1(It2) =
= 2! $$ <(- If+ N ^) CIt1(It2.
Я пишу 2! вместо 2 специально, поскольку предвижу результат для высших моментов. Теперь применим очень простой прием: напишем
TV (T2) ^N(X1) + [N (T2) -N (X1)].
В этом способе записи кроется некоторая цель: ведь N (т2) мы представили в виде суммы двух независимых слагаемых. В случае высших моментов вы можете сделать то же самое, только тогда в сумме будет больше слагаемых. Пользуясь приведенным выше разложением N (т2) на два независимых слагаемых, имеем
2! I] ((-1)2NM + N^-N^))dx1dx2. (36)
Поскольку 2N (T1) является всегда четным числом, подынтегральное выражение сильно упрощается:
((_ 1)(Ti)+ W(T2)-Л (Ti) ^ ^_ (Ta)-JV(Ti)^ ^
117
Это выражение в силу определения среднего значе* ния, равняется
Второй момент принимает, следовательно, вид
M0 = <(S<-i)"w*),> =
о
= 2! J dt2 (dv"2a(Te"Tl). (39) о о
Первая часть формулы (39) представляет собой свертку. Почему появляется здесь свертка? Потому, что N (т2) мы разложили на два независимых слагаемых. Не надо иметь большого воображения, чтобы увидеть, что то же самое будет иметь место, когда мы перейдем к высшим моментам. Действительно, это имеет место для всех стохастических процессов с независимыми приращениями. Там всегда появляются свертки подобного рода. Следовательно, естественно применить преобразование Лапласа. Все станет значительно более легким, поскольку преобразование Лапласа для свертки есть произведение преобразований. Формулу (39) мы можем записать в виде двойной свертки, вводя функцию Хевисайда: