Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
80
Применяя несколько более сложное рассуждение, можно показать, что имеет место не только соотношение (85), но и более общее соотношение
I $Ф*(Д; <)<*0<О, а>1,
Sn
а отсюда в свою очередь
I $<р(Д; *)log<P(A; о^<о.
Sn
Если <р обладает свойством хаоса, последнее соотношение равносильно обычной ff-теореме Больцмана (2). К сожалению, я утверждаю это по интуиции и не могу доказать строго.
Вернемся теперь снова к оператору Q, относительно которого мы доказали, что он является самосопряженным и отрицательно определенным. Наиболее интересной вещью, как известно, является его спектр. Этот спектр вещественный, так как оператор является самосопряженным. А поскольку оператор отрицательно определенный, спектр должен лежать слева от нуля. Нуль, несомненно, является элементом спектра, поскольку легко проверить, что Ф = С (постоянная) — собственная функция, принадлежащая собственному значению нуль. Относительно спектра можно высказать еще несколько дальнейших утверждений, однако полностью его никто не знает. В частности, неизвестно (хотя можно отдать голову на отсечение, что это не так), подходит ли спектр сколь угодно близко к нулю, когда п -> OO. Если он не подходит к нулю, то уже при поверхностном взгляде на операторное решение сразу можно вывести гораздо больше следствий. Потому что тогда сразу следует, что решение (79) будет показательно убывать до некоторой постоянной. Эта постоянная возникает потому, что она является собственной функцией, принадлежащей собственному значению, равному нулю. Она соответствует состоянию равновесия. Следующее собственное значение, ближайшее к нулю, дает нам скорость приближения к состоянию равновесия.
81
К сожалению, ни я, да и никто другой не смог до сих пор доказать, что нуль не является предельной точкой этого спектра. Мы сумеем показать это только очень косвенным способом, если будем исходить из распределений, распадающихся на сомножители, т. е. если будем предполагать, что начальное распределение является хаотичным. Но это может быть следствием того факта, что распределение, распадающееся на сомножители, автоматически ортогонально ко всем другим распределениям, имеющим собственные значения, лежащие вблизи нуля. Попросту неизвестно, существуют такие распределения или же нет. Как бы то ни было, в случае этого специального выбора начального распределения мы сумеем строго доказать, что убывание является показательным. Убывание — до чего? До постоянной, которая, конечно, означает равномерное распределение на сфере.
Возникает теперь вопрос, каково Распределение одномерное сужение равномерного Максвелла распределения, т. е. каково рас-
пределение в состоянии равновесия. Если мы его вычислим (расчет этот является старым, как мир, и выполнен еще Максвеллом), то получим я_3
/ЇП)И = -7Г--Чгіг-- (86)
— Yn
Эти выкладки совершенно тривиальны, надо только немного знать геометрию сферы. Пусть теперь п оо. Посмотрим, что произойдет с выражением (86):
п-з
г2
Yn 7LzI V 2л
п
(87)
¦ Yn
82
т. е. мы получили распределение Максвелла. Это, по-видимому, наиболее удовлетворительный способ его вывода. А именно, мы просто ищем одномерное сужение равномерного распределения на сфере. Двумер-
ное сужение будет содержать произведение е 2 и
е 2 . Нам еще осталось рассмотреть (но это уже в следующей лекции), какие распределения являются хаотичными и как их сконструировать.
Я хотел бы теперь сделать несколько заключительных замечаний, а также ответить на некоторые вопросы. Я пытался построить приличным, насколько это было возможно, способом первые этажи кинетической теории, опираясь на простую стохастическую модель. Это оказалось интересным, поскольку выявило сущность нелинейности, коренящейся в уравнении Больцмана. Из этой попытки также следовало, что с философской точки зрения уравнение Больцмана имеет некоторые особенности. В самом деле, если мы его примем за исходный пункт, то автоматически возникает вопрос, почему действительность приготовляет нам в нулевой момент времени такие специфические распределения, распадающиеся на сомножители. Ответ состоит в том, что иначе мы не могли бы получить уравнения Больцмана. Мы должны как-нибудь примириться с тем, что в силу некоторых неизвестных причин системы, с какими мы имеем дело, обладают этим свойством. В настоящее время существует теория, которую никто не в состоянии обосновать (потому что никто даже не умеет ее надлежащим образом сформулировать), утверждающая, что большинство распределений уже имеет вид произведений, по крайней мере большинство симметричных распределений. Это означало бы, что крайне трудно встретить распределение на га-мерной сфере, симметричное по отношению ко всем переменным и не распадающееся одновременно (по крайней мере в некотором приближении) на произведения. Такое утверждение было бы ответом, если бы это действительно было так. Однако надо уточнить, что следует
83
понимать под словом «большинство из них», а я не знаю, как это сделать. В литературе можно встретить высказывания, что каждое распределение, каким-то мало понятным образом очень быстро распадается на сомножители. Начиная с этого момента оно, конечно, уже будет подчиняться уравнению Больцмана. Однако это неверно. Физик д-р Браут, один из моих молодых коллег из Корнельского университета, доказал, что если мы будем исходить из распределения, не распадающегося на сомножители, то мы никогда не придем к распределению, которое распадается на сомножители. По крайней мере время, необходимое для этого, будет иметь тот же порядок, что и время, необходимое для достижения равновесия. Нельзя создать хаос из порядка, разве только подождать этого достаточно долго. Но ждать пришлось бы действительно очень долго. Если же, наоборот, мы имеем хаос с самого начала, то он будет продолжаться вечно.
