Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
<eie2...e,> = <ei><e2>...<e(>. (38)
Поскольку все эти средние равны, то левая часть равна (є)'. Но мы знаем, что (е) = 1 — 2\х; слеватель-но, мы снова получаем тот же самый результат:
(8^...8,)=(1-2^. (39)
Мы этому не удивляемся, однако одновременно должны быть довольны. Поскольку мы получили этот результат также с помощью подробных вычислений, в этом частном случае микроканоническое и канони-
36
ческое распределения равносильны. А кроме того, приведенный расчет был почти моментальным. Учитывая теперь упомянутые изменения в нашей модели, обсудим еще раз всю задачу снова.
(Замечание. Мы всегда должны предполагать, что [х меньше 1I2. Если оно равно 1Z21 то среднее вообще не будет изменяться, так как 1 — 2[х равно нулю. Если же [х больше 1Z21 то этот случай очень интересен, поскольку тогда все осциллирует. В нашем случае [х должно быть меньше 1Z2 с тем, чтобы изменение цвета не было слишком частым событием. Естественно, что если [х близко к 1Z2, то цвета будут меняться так часто, что выравнивание будет насту-пасть очень быстро.)
Я хотел бы теперь снова обсудить всю нашу проблему и привести дальнейшие аналогии с термодинамикой. Мы будем при этом брать за образец исследования Гиббса. Идея Гиббса была следующей. Сначала, в момент времени t = 0, дано некоторое распределение систем в фазовом пространстве. С течением времени это распределение подвергается некоторой эволюции. Речь идет о том, чтобы показать, что это распределение становится в некотором смысле все более и более равномерным на поверхности энергии. Другими словами, если мы имеем локализованное распределение в момент времени J = O (вероятность сконцентрирована главным образом на небольшом участке пространства), то, очевидно, мы знаем вначале, где находится наша система, более или менее точно. С течением времени мы знаем все меньше о том, где находится наша система. Система «распыляется». Вследствие этого движения наши данные относительно положения системы становятся все более скудными. Это не совсем так, поскольку в действительности надо ввести некоторые вспомогательные понятия, например, макроскопическую плотность и т. п. Но еще в некоторой степени можно подражать тому, что пытался сделать Гиббс, а затем посмотреть, где обнаруживаются трудности. К счастью, в случае нашей модели все это можно относительно легко сделать.
37
Наша настоящая модель является в точности такой же, как и ранее рассмотренная, с той лишь разницей, что величины ер теперь независимы (можно было бы сказать, что эта независимость вытекает из бросаний несимметричной монеты). Договоримся о терминах. Прежде всего, что является фазовым пространством в нашей модели? В нашем случае это очень простое пространство. В механике им является пространство всех координат и импульсов, т. е. всех величин, необходимых для того, чтобы полностью определить систему. Что же следует сделать, чтобы нашу систему определить однозначно? Мы должны знать, какой из шариков черный, а какой — белый, и это относительно каждой точки. Другими словами, мы должны знать последовательность, состоящую из чисел +1 и -—1. А поэтому фазовым пространством в нашем случае является просто конечное множество точек, причем каждая точка является последовательностью, состоящей из чисел + 1 или —1. Существует 2П таких последовательностей, или 2П точек в рассматриваемом фазовом пространстве.
Допустим, что сначала в нулевой момент времени мы имеем некоторое распределение вероятностей р (4, 0) (ц означает точку нашего фазового пространства, т. е. последовательность п чисел, составленную из +1 и —1; для сокращения мы вводим векторную символику). Вектор ц может принимать 2П различных значений, так что р (4, 0) является в действительности множеством чисел. Эти числа определяют нам распределение, если ни одно из них не является отрицательным, и если все они дают в сумме 1, т. е. если
P (4,0) ^ 0, а также 2 р(ч,0) = 1. (40)
Г)
Итак, мы имеем распределение. Например, мы можем принять, что р (4,0) равняется 1 для вектора 4 = (1, 1, 1) и равняется 0 для остальных векторов. Это означало бы, что в начальный момент времени мы с полной достоверностью знаем, что все
38
шарики черные. Мы, однако, не должны обязательно брать такое специальное распределение. С тем же успехом мы можем сказать, что относительно начального момента времени мы обладаем только частичной информацией, а затем принять за р (т|, 0) произвольное распределение.
Возникает вопрос: какой эволюции Уравнение во Времени подвергается это рас-
ЛиуВИЛЛЯ <л гл
J пределение? Это, естественно, за-
висит от положения множества S. Распределение меняется во времени согласно уравнению
P Ob - - • і Лп! * + 1) = P (ел. е2т]3,..., еп%; t). (41)
Это — уравнение эволюции для р(ц,І). Оно является уравнением Лиувилля, соответствующим нашей модели, и говорит нам, как эволюционирует во времени начальная плотность множества систем, если эти системы подчиняются уравнениям движения. В статистической механике уравнения Лиувилля, к сожалению, нельзя решить точно (в явной форме). Исследуемая нами модель, естественно, подобрана таким образом, чтобы это уравнение можно было решить. Условимся теперь, поскольку в самой уже нашей проблеме коренится понятие вероятности, трактовать эту задачу теоретико-вероятностным образом.
