Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
если ^ zz ~ Последнее отношение равно \х.
Отнимая fx от единицы, имеем 1 — \х = ¦ * 2, и
это все, что требуется для нахождения Z0. Мы получаем два значения Z0, из которых выбираем положительное значение, хотя этот выбор не имеет существенного значения. Имея уже точку z0, в которой производная обращается в нуль, мы подставляем ее везде вместо z.
Теперь мы должны найти седловую точку для интеграла в знаменателе. Но заметим, что уравнением, определяющим седловую точку, является уравнение, которое мы только что написали, так как та часть подынтегральной функции, которая зависит от п и т, является в точности такой же, как в числителе (Hz фигурирует также). Следовательно, все, что нам осталось сделать, это вычислить значение [(1 — z2) 1(1 + z2)Y в седловой точке. Это значение
*) В русской математической литературе этот метод принято называть методом перевала. (Прим. перев.)
30
равно как раз (1 — 2|л)'. Итак, с помощью метода седловой точки мы приходим к выводу, что асимптотическое поведение среднего дается формулой
(^7^)-(1-2^- (32)
Это просто означает тот факт, что среднее относительно всех возможных положений множества S, если предположить, что каждое из них одинаково вероятно, вполне согласуется с тем, что мы имели ранее. Заметим, однако, что в ходе выполнения этого предельного перехода мы сделали некоторые предположения. Переменная t была зафиксирована, тогда как пит стремились к бесконечности. Весьма важно, чтобы t было постоянно, когда п стремится к бесконечности. В физической терминологии это означает, что t должно быть мало по сравнению с п. Иначе мы не могли бы применить метод седловой точки. Если бы t было одинакового порядка с п, тогда, разумеется, все приведенное выше рассуждение не было бы оправданным. Мы должны были бы учесть при выписывании показателя степени сомножитель, содержащий /,ив результате положение седловой точки, а значит, и асимптотическое поведение среднего были бы совершенно иными.
А поэтому только тогда, когда t мало по сравнению с п, а еще лучше, когда t остается постоянным при стремлении числа точек к беско-Объяснение нечности, наше утверждение мо-
парадоксов жет рассматриваться как истин-
ное. Это находится в полном согласии с тем, что обычно делается в статистической механике и кинетической теории, а именно: результаты кинетической теории или статистической механики можно считать истинными только тогда, когда время наблюдения является коротким в сравнении с длительностью соответствующего цикла Пуанкаре. (Вы должны вспомнить, что говорилось ранее о теореме Пуанкаре. Она гласит, что в рассматриваемом случае мы должны раньше или позже оказаться вблизи исходной точки в фазовом пространстве.
31
Среднее время, которое пройдет до этого момента возвращения, — оно может быть очень долгим — называется циклом Пуанкаре.) В нашей модели цикл Пуанкаре равен 2п, что сразу же видно.
Попробуем разобраться в том, что все это означает. Допустим, что мы хотим начертить ход функции
~^-[Nc(t) — Nb(t)] в зависимости от t. Сколько мы
получим кривых? Так как для каждого выбора мно-
жества S получается своя кривая, мы получим
кривых. Каждая из них связана с единственным множеством и периодична с периодом 2п. Зафиксируем теперь t и рассмотрим эти кривые только по отношению к выбранной точке. Допустим, что п очень велико по сравнению с t, например, пусть п будет порядка 1023, a t порядка 106. Так вот, в момент времени t каждая из этих кривых имеет некоторое значение; все эти значения концентрируются около (1 — 2\i)1. Если бы мы начертили показательную кривую (1 — 2[x)f, то заметили бы, что в каждой фиксированной точке t огромное большинство рассматриваемых кривых находится около нашей показательной кривой. Но этого мы еще не показали. Пока мы показали только, что рассматриваемое среднее в точности равно (1 — 2\х)1. Теперь нам потребуется несколько более тонкое понятие, а именно, понятие дисперсии. При этом мы обойдем связанные с ним расчеты — они элементарны, но требуют кропотливой работы. Здесь дело идет о вычислении среднего для выражения
по отношению ко всевозможным положениям множества S. Это как раз и есть дисперсия; а если мы извлечем квадратный корень, то это будет среднее квадратичное отклонение. Вычисляя среднее квадратичное отклонение, мы найдем (и это очень любопытно), что если при постоянном t величина п будет стремиться к бесконечности, то среднее квадратичное отклонение будет порядка If]Zn . Грубо говоря, только
(33)
32
весьма малая часть наших значении лежит дальше от среднего (1 — 2[л)', чем три средних квадратичных отклонения. Но п стремилось к бесконечности; следовательно, чем больше п, тем больше указанные значения накапливаются около среднего. А поэтому, если мы встретим значительное отклонение от этого среднего (1 — 2[х)*, это следует рассматривать как серьезную неудачу.
Однако, несмотря на убедительность этого рассуждения, надлежит помнить о том, что здесь коренится некоторое произвольное допущение. А именно, при усреднении мы трактовали все множества S одинаково, не выделяя никакого из них. Этого нельзя обосновать, но выглядит это вполне естественно, так как одно множество S ничем не лучше другого. Несмотря на это, наверняка можно выбрать такое множество S, для которого рассматриваемое отклонение будет очень большим; достаточно выбрать множество S с помощью очень регулярного процесса. Очевидно, однако, что множество такого рода будет очень специальным. Таких множеств в действительности существует очень мало; подавляющее число множеств S будет приводить нас как раз к этой убывающей показательной кривой. Приведенная выше аргументация является иллюстрацией того, как следует понимать термодинамику или же термодинамические заключения. Все это можно выразить так: то, что должно быть наблюдаемо, наверняка наблюдается на громадном большинстве исследуемых конфигураций. Почему же природа здесь столь благосклонна к нам? На этот по своей природе философский вопрос я не в состоянии дать ответ.
