Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку мы уже научились кое-чему на примере этой модели, я бы хотел теперь ее еще несколько развить, чтобы в конце концов связать с уравнением Больцмана, а также с более тонкими методами анализа стохастических явлений в физике. Первым шагом было бы нахождение какого-либо способа избежать рассмотрения интегралов. Эти интегралы портят нам жизнь, поскольку мы все
Другая модель, но более легкая
зз
время фанатически придерживались множеств S, которые имеют в точности т элементов. Но ведь мы могли бы себе позволить известную свободу в выборе числа элементов. Так облегчим себе жизнь следующим образом. Предположим, что множество S имеет в среднем т элементов. Множество S может иметь их больше или меньше, но в среднем должно иметь их т. До настоящего момента мы не делали этого предположения, потому что надо было по крайней мере один раз проследить сделанные расчеты и увидеть, что ничего неправильного не получается. Помимо этого, вы имели возможность познакомиться с одним интересным приемом, который в дальнейшем может пригодиться.
Изменим теперь несколько нашу модель и предположим следующее. Не будем с самого начала определять множество 5, указывая т входящих в него точек. Вместо этого возьмем монету и будем ее бросать. Вероятность того, что выпадет герб, равна [х, а вероятность того, что выпадет решетка, равняется 1 — (і. Далее, будем бросать эту монету в каждой точке нашей окружности. Если выпадет герб, включим данную точку в множество S. Если выпадет решетка, то данную точку в множество S включать не будем. Следовательно, теперь сами є не являются вполне определенными величинами, как это было до сих пор, а именно, +1 или —1 в зависимости от того, находимся мы в множестве S или нет. Значения этих є зависят теперь от результата бросания монеты, и следовательно, говоря языком статистики, превращаются в случайные величины. Каждое г^ равно —1 с вероятностью |х и равно +Ic вероятностью 1 — \х. Сверх того, они друг от друга совершенно не зависят, поскольку мы предполагаем, что каждый раз, когда мы переходим на окружности от одной точки к другой, мы бросаем монету снова, не принимая во внимание предыдущего бросания.
Итак, сколько же элементов в множестве ?? Теперь это уже не есть вполне определенное число, а также случайная величина. Число элементов в множестве S можно найти, суммируя все ер. Эта
34
сумма, как и раньше, равна п — 2т. Мы видим, следовательно, что
V
Каково среднее число элементов в множестве «5? Оно равно
<» = 1(„_2<ер>); (35)
V
среднее (ер) равно просто 1 — 2\х. Следовательно, получаем
(m) = n\i, (36)
а [х, как вы помните, было равно min. Таким образом, в среднем мы имеем такое же число элементов, как и раньше. Аналогично можно убедиться в том, что если мы возьмем действительное число элементов в множестве S1 отнимем среднее, возведем в квадрат, усредним и, наконец, извлечем квадратный корень (все это с целью получения среднего квадратичного отклонения), то получим величину порядка \/п. Мы бы могли смело сказать, что число элементов в множестве S равно п\х с ошибкой порядка j/ra", т. е. весьма близко к числу п\л. Таким образом, мы можем ожидать, что результат, полученный на основе настоящей модели, должен быть в точности такой же, как и результат, полученный на основе предыдущей модели. А нашей настоящей моделью проще оперировать.
Те из вас, кто изучал немного статистическую механику, наверно слышали о так называемых канонических распределениях. Каноническим называется распределение, в котором число частиц нашей системы может испытывать колебания. Несмотря на это, результаты вычислений, связанных с каноническими распределениями, в точности те же самые, поскольку, хотя число частиц и является переменным, но среднее является вполне определенной величиной, а отклонения весьма малы. В дальнейшем мы заменим микроканонические распределения кано-
35
ническими. Если вы заглянете в учебники статистической механики, то сможете проверить, что в случае микроканонических распределений мы всегда имеем дело с методом седловой точки, т. е. всегда с этими сложными интегралами. В случае канонических распределений мы избегаем такого положения. Очевидно, следовало бы провести доказательство равносильности, а это обычно делается поверхностно. Иногда эти распределения не являются равносильными, но я не буду здесь вас беспокоить этим. В простых случаях очевидно, что если число элементов подвергается не слишком большому изменению, то и результаты не будут черезчур различаться.
Если бы мы выбрали настоящую модель сразу, с самого начала, то мы вообще бы не имели никаких трудностей. Вы помните, что нам надо было вычислить / ч /ОГ7ч (e±e2...et). (37)
Но теперь усреднение иное. Мы не только имеем дело со многими возможными положениями множества S, но, сверх того, с изменениями числа элементов. Действительно, усреднение здесь теперь такое же, как в игре, основывающейся на бросании монеты. А все является столь простым потому, что эти бросания независимы; мы это постулировали. Теория вероятностей, как знает каждый, говорит нам, что среднее произведения независимых величин равно произведению средних. Поэтому
