Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
временных структур, представляющих собой упорядочение процессов во
времени. Таким примером являются периодические или квазипериодические
режимы течения химических реакций.
Далее, используя выражение для производства энтропии (1.14), построим
конкретный вид критерия эволюции (3.4) для и-компонентной системы, в
которой происходят процессы тепло- и массопереноса, релаксации и вязкого
течения среды при отсутствии внешних силовых полей и поляризации
вещества. Подставляя (1.14) в (3.4), после преобразования можно найти
дх& _ г дхв'ру _
~5Г ~ Jv~drdV ~
= fv{v-[-JQ-d4+±J^dt(f) + ^p-dtv
+
+
J'Q+ [P + P\U -v
¦dt(v±)-±^J'k-dt(vVf) (pvv + P):dt (V^) + t" • V } ¦
- E iA ) - (pvv + P):dt(V%) + vV( dt^jr ) }dV sC 0,
(3.5)
125
где J'Q = puv + Jq, J'k = pkv + Jk.
Отсутствие свойств полного дифференциала у формы дх& требует при
исследовании стационарных состояний систем отыскания таких условий, при
которых форма дх& приобретает эти свойства. Подобные исследования привели
Пригожина и Глансдорфа к концепции локального потенциала. Последний
является функционалом
в пространстве двух множеств функций (f°,f), соответствующих осредненным
стационарным решениям /° уравнений переноса энергии, массы и импульса и
отвечающих локальным значениям флуктуирующих величин. Здесь есть
локальное производство эн-
тропии, в котором некоторые функции заменены их стационарными значениями
в смысле, отмеченном выше. В частности, если нелинейность системы
обусловлена зависимостью физических свойств ее от термодинамических
параметров, то локальный потенциал есть производство энтропии в
представлении термодинамических сил, в котором феноменологические
коэффициенты Lij заменены их значениями L\j в стационарном состоянии:
Пригожиным и Глансдорфом было показано, что скорость изменения локального
потенциала вблизи стационарного состояния системы соответствует
эволюционному критерию (3.3), (3.4) и определена по-луотрицательно:
Отсюда следует, что локальный потенциал убывает во времени по мере
приближения системы к стационарному состоянию и достигает в этом
состоянии минимального значения. Условие экстремума можно
v
" " т
<р= hdv= / Е
126
Глава 3
записать в следующей вариационной форме, варьируя по флуктуирующим
параметрам f системы:
Таким образом, реализация нелинейной теории Глансдорфа- Пригожина состоит
в установлении общего критерия эволюции рассматриваемой системы,
построении локального потенциала и реализации экстремума его на множестве
флуктуирующих величин f при заданных граничных условиях и дополнительных
условиях f = f°.
3.1. Критерий эволюции Глансдорфа-Пригожина
102. Показать, что критерий Глансдорфа-Пригожина приводит к принципу
минимального производства энтропии (см. гл. 2, §2) в частном случае
состояний систем, близких к равновесному.
Указание. Использовать линейные законы, условие постоянства
феноменологических коэффициентов и соотношения взаимности Онзагера.
103. Доказать справедливость критерия Глансдорфа-Пригожина для процесса
теплопроводности в системе с фиксированными на границах температурами.
Решение. Полное производство энтропии в такой системе с объемом V есть
(см. (1.14))
Переходя здесь к выражению полного производства избыточной энтропии dQ/dt
и выделяя часть ее d(r)x/dt, зависящую от изменения термодинамических сил,
преобразуем последнюю с помощью теоремы
SW(f, /)}/=/о = О ? = О, Sf Ф 0. (3.6)
°J /=/°
V
v
3.1. Критерий эволюции Глансдорфа-Пригожина
127
Остроградского-Гаусса:
? = JVJ<?'Mvr) dv =
f dt Ш Jq ¦ dSl - f dt Ш V • JgdV.
Поверхностный интеграл вдоль границ О с фиксированной температурой
обращается в нуль, а объемный интеграл с учетом локального баланса
внутренней энергии pxdtT = -V • Jq, где р, к - плотность и теплоемкость,
принимает вид, иллюстрирующий справедливость критерия Глансдорфа-
Пригожина:
104. Показать справедливость критерия Глансдорфа-Пригожина для процесса
диффузии в бинарной системе с фиксированными вдоль границ концентрациями.
105. Используя метод локального потенциала Глансдорфа- Пригожина,
построить нелинейное стационарное уравнение теплопроводности.
Решение. Для рассматриваемой задачи критерий эволюции (3.3) имеет вид
V
^ = dtp = / {-V • JQdt (i) +JQ-dt } dV sC 0.
v
Учитывая, что Jq = Lqq V ^ j , и используя теорему Остроградского-Гаусса,
находим
Jq ¦ dil + -
2
dV ^ 0.
о
V
128
Глава 3
При фиксированной температуре на границе 12 области поверхностный
интеграл обращается в нуль и, следовательно, локальный потенциал
принимает вид
где верхний индекс "О" отмечает неварьируемые величины, значения которых
совпадают со значениями в стационарном состоянии системы.
Минимум функционала ip, определяемый вариационным условием Sip = 0,
реализует уравнение Лагранжа-Эйлера
которое в данном случае принимает вид искомого уравнения теплопроводности
106. Построить с помощью метода локального потенциала нелинейное
уравнение диффузии в изотермической бинарной системе с фиксированными
