Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
двухфазной области выполняется гипотеза квазиравновесия. Это означает,
что выполняются условия равновесия в пространстве температура-
концентрация-давление (Г -с -р) в жидкой части области и на поверхности
растущих кристаллов, а в объеме кристаллов диффузионные процессы
полностью заторможены.
Решение. Скорость изменения энтропии в области развитой (дендритной)
фазовой границы определяется соотношением Гиббса
pdts = p^dtu - p^dtv - p^dtc,
где p - локальный химический потенциал второго компонента системы в
жидкой фазе, Т.р - температура и давление в двухфазной области сплава.
Скорость изменения внутренней энергии dtu и удельного объема dtv в
двухфазной области сплава и скорость изменения концентрации второго
компонента сплава dtc в жидкой части двухфазной области обусловлены
локальными изменениями и действием источников энергии Q$, объема Av0 и
массы легирующего элемента сплава (1 - к)ф, т.е.
dtu -"¦ (и + Q(3)', dtv -"¦ (Av/3), dtc -"¦ (fie)' - кф,
где Q, Av - теплота и изменение объема среды при фазовом переходе; к -
коэффициент распределения второго компонента сплава; (') - производная по
времени; (3(r,t) - единичная ступенчатая функция пространственных
координат и времени, обращающаяся в нуль в твердой и равная единице в
жидкой частях двухфазной области сплава.
102
Глава 2
Запишем, далее, потенциал рассеяния в представлении действующих в системе
термодинамических сил V ^^ , -V ¦> V {fj^ '¦
G=^pv(i)-v(i) +
+ ^/3V (^) ¦ v ) • v (f) ^ 0,
где Lqq , , Lpp - феноменологические коэффициенты. Наличие
здесь f3(r,t) означает обращение в нуль коэффициента L^k в твердой части
двухфазной области, где соответствующий перенос массы заторможен.
Подставляя выражения для ps,G в вариационное условие (2.29), легко найти
S fv j/cwjr + pQfi)jт - p(f3c)' ^ + ркф^ - pAvfltp-
(vi)2 - ^/3 (vf )2 - (vf )2 J dV = 0.
Это условие эквивалентно системе уравнений переноса в двухфазной области
сплава, соответствующих уравнениям Лагранжа - Эйлера (2.30) при
варьировании по параметрам 1/Т, -р/Т, р/Т термодинамических сил:
рхТ + pQ/3 - V • AVT = 0,
(/9с)' - кс/3 - V • Df3Vc = 0, п0$ - V • m'/Ug 1 Vp = 0,
где А = LqqT~2 - теплопроводность; к = du/dT - теплоемкость; D = LkkT-1
р~1{др/дс) - коэффициент диффузии; m' = Lpppо - локальный коэффициент
проницаемости двухфазной области; щ = Ар/р; Ар - скачок плотности среды
при фазовом переходе; ро - динамическая вязкость расплава.
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системахЮ3
Осредняя эти уравнения вдоль произвольной изотермической поверхности О в
двухфазной области сплава (в соответствии с гипотезой квазиравновесия
величины Т,р, с остаются постоянными вдоль О), получаем искомую систему
уравнений переноса
рхТ + pQr] - V • Л VT = О,
(¦т]с)' - kci] - V • Dp Vc = О, noV + V • mp,Q 1 Vp = О,
где т] = О-1 / /3(т% t)dtt - унарная корреляционная функция двух-ft
фазной области на произвольной изотермической поверхности; m =
Г2-1 f m'dtt - коэффициент проницаемости двухфазной области. п
Приведенная система уравнений незамкнута и в соответствии с условиями
варьирования должна быть дополнена одним из соотношений т] = fi(T), т] =
/2(с), г] = /3(р) или альтернативным уравнением состояния /(Г, с, р) = 0.
Примечание. Система четырех последних уравнений (включая уравнение
состояния двухфазной области) формулирует континуальную теорию
кристализации сплавов, основанную на гипотезе квазиравновесия (уравнение
состояния). Первая формулировка теории была дана Борисовым [22],
последующее обобщение ее проведено в работах [23, 32].
84. Провести решение задачи 83 для случая кристаллизации п-
компонентного сплава. Считать, что справедлива гипотеза квазиравновесия в
(п + 1)-мерном аффинном пространстве (Т - р - сг =
2.3, ...,п) и заданы коэффициенты распределения (ki,i = 2,3, ...,п)
легирующих элементов сплава между фазами, т. е. процесс кристаллизации
сплава осуществляется вдоль некоторой траектории на фазовой поверхности
/(Т,Cj,p) = 0, описывающей условия равновесия в двухфазной области - на
поверхности растущих кристаллов-дендритов и в окружающей жидкости.
104
Глава 2
Ответ.
рхТ + pQf] = V • A VT,
П
(аг))' - к,с,Г) = V • 7] Y, DijVcj (г = 2,3,...,п),
1=2
ЩР + V • m/Xg 1 Vp = 0,
/(Т,р,с2,с3,...,с") = О,
Dij - матрица коэффициентов диффузии.
85. Используя положения линейной термодинамики, провести анализ явления
релаксации объема и давления гидростатически деформированной изотропной
среды. Влиянием вязких эффектов и переноса тепла пренебречь.
Решение. В случае единственного релаксационного процесса в системе
производство энтропии и линейный закон Онзагера суть
0 = ^4dt?, dt^ = i=^A,
где .А, ? - сродство и параметр релаксационного процесса; L -
феноменологический коэффициент.
Если в качестве независимых переменных выбраны давление р и параметр
релаксации ?, то для неравновесного состояния вблизи равновесия
(po:Vo,?o) справедливы следующие разложения:
А=Ш^р-ро) + (ж)Р^-^
