Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
тремя уравнениями состояния в виде рядов Тейло-
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентельных)
системаж109
ра, выбрав в качестве независимых переменных v,?,nii,s :
"-<*>=(SOs," <" -"")+({-&)+
+ (&){" <'"¦ " '"1о) + (Й<* - *">•
л = (<" " "") + {( ~ ш
+ " mio) + (те){,"",(< ",л)'
н' ~ "г = с - ""> + и - &>+
+ (Юс,.,. (га' -Ш1л)+(Т){"", ("- *->•
Коэффициенты в этих уравнениях состояния связаны соотношениями Максвелла,
среди которых отметим лишь те, которые отражают влияние внешних полей на
параметры химической реакции:
cL4\ _ / др
дА \ /ОН'
dvJi,s,mi \dus,v,mi \drnj e>?>|) \ dt , в1"гт1
Используя фурье-преобразование, перейдем от приведенной системы уравнений
к системе алгебраических уравнений для фурье-образов:
T0s = й + Pqv + Щт\,
Рой = -ророй,
йД = 0А, 13 = Ь/То,
М = av, а = (р(Щ,р0),
s,
v,m i ,?
v,mi ,?
110 Глава 2
p= (я?)5."."/+ (sf)".m,./+ + (r))
3= (И)""/+ (ls:)"s",ffir+ (w)
ГГ-(дНв\ -,(дНв\ т,(дНв\ -,(дНв\ \~dv~)t,s,m! v"^rJS;t,,mi ^
V^mT/*,?," 1
Из этой системы уравнений можно найти величины р, как линейные функции V
: р = Кр(ш)1],
A = Ka(lj)v, ? = Kt(u})v,
где Кр, КА, - обобщенные восприимчивости. Так, из совместного
рассмотрения третьего, четвертого и шестого уравнений системы в сравнении
с А = KA(u>)v при s = 0 легко найти восприимчивость
ТУ < \ (днв\ шт
КА И = -7 + а '
дГ
где использованы приведенные соотношения Максвелла и время релаксации т =
- (<9?/cM)Sjmijt,/3_1. Последнее следует из решения уравнения химической
реакции
d^ = (3(w) (?-Ь) = -т-1(Ц-Цо).
\ ^ / s,i?,mi
Аналогично можно найти
/Зр ЗЯе\ /30 1
К^( ш) = I - + а-
) S,v,mi \dAJ 1 - iu3T
При шт <С 1 имеем КА(ш) -"¦ 0-"¦ const. При шт 1 имеем КА(ш) ->¦ const',
К^(ш) ->¦ 0.
Таким образом, восприимчивости КА(ш), К^(ш) отражают характер влияния
внешних полей на параметры химической реакции А,
91. Установить термодинамические соотношения между каждыми двумя
восприимчивостями из набора восприимчивостей КА(ш), Кр(и>), К^(ш),
найденных в решении задачи 90.
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системахШ
Вязкое и пластическое течение жидких и твердых сред
92. Рассмотреть изотропную непрерывную систему, в которой осуществляется
единственный необратимый процесс - вязкое течение среды. Записать,
используя выражение для производства энтропии (1.14) (см. ответ к задаче
25), линейные законы Онзагера в отсутствие внешних полей и тепло-
массопереноса. Для этих условий построить уравнение движения вязкой
среды.
Решение. В условиях изотропной среды все феноменологические коэффициенты
в линейных законах Онзагера являются скалярами, и, следовательно,
используя (1.14) (см. также решение задачи 6), можно записать
q = -LvvV ¦ v = -?7"V • v,
Фа = -Laa((Vv)a - 2ша) = -t)"((Vu)" - 2ша),
Ф" = -Lss(Vv)s = -2 T](Vv)s,
где T]v,T],T]a - коэффициенты объемной, сдвиговой и "вращательной"
вязкости, положительно определенные. Подставляя эти законы в уравнение
баланса импульса
р dtv = -Vp - Vq - V • Фа - V • Ф%
легко найти уравнение движения вязкой жидкости при постоянных
коэффициентах вязкости (уравнение Навье - Стокса)
р dtv = -Vp + r]V2v+
+ (j)v + 3"?) vv • v + T]a[V(2coa - [Vu])].
93. Построить линейные законы Онзагера для вязкого течения изотропной
жидкости в магнитном поле, пренебрегая антисимметричной частью тензора
давления (Фа = 0).
Ответ. Если направление магнитного поля В совпадает с осью х, то система
линейных уравнений Онзагера, описывающих вязкое те-
112
Глава 2
чение жидкости в магнитном поле, имеет вид
Кх = -2m(Vv)sxx - 2(V • v,
Ф1у = ~2V2(^v)syy - 2(r/i - r]2)(Vv)szz - 2r]4(Vv)syz + (V • v,
Kz = -2("?1 - m)(Vv)syy - 2t]2)(Vv)szz - 2r]4(Vv)yz + (V • V,
%z = m((Vv)°yy - (Vv)'xz) - 2(2^ - m)(VvYyz, ф1х = -2%(Vu)L -
2r]5{Vv)sxy,
Ky = 2%(Vu)L, - 2T]3(Vv)sxy, q = -2Z(Vvyxx - VvV • t, + ?((VtOj" +
(v");j,
где г)1,г}2,г}з,щ,г15 - коэффициенты сдвиговой вязкости, причем первые
три являются четными, а остальные - нечетными функциями магнитного поля.
В отсутствие поля (В = 0) щ = % = ? = 0 и для изотропной среды
существенны лишь два коэффициента вязкости r]v, т] = щ = Щ = Vз (см.
задачу 92).
94. Найти уравнение движения вязкой жидкости, отвечающее состоянию
системы с минимальным производством энтропии. Показать, что это состояние
устойчиво. Другие (кроме вязкости) диссипативные эффекты считать
несущественными.
Решение. Диссипативная функция системы с вязким течением среды есть
¦ф = -Р :Vv = LVv : Vv ^ 0,
где Р, Vv - тензоры давления и градиента скоростей в потоке; L > 0 -
феноменологический коэффициент. Полная диссипация в системе с объемом V
равна
J ipdV = L J Vv : VvdV ^ 0, L = const.
V V
2.3. Необратимые процессы в непрерывных и прерывных (вентелъных)
системах!!3
Принцип Пригожина соответствует вариационному условию
S J фНУ = 8 J LVv : VvdV = 0.
V V
Это условие эквивалентно уравнению Лагранжа - Эйлера
V • Vu = V2u = 0.
Соответствие этого уравнения стационарному состоянию системы легко
