Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
(5.8) .имеет следующую блочную структуру:
( 0 D' В'\ /0 В" D" \
=h9^v = Д'О 0 , Ф^',=/,5Ф*',= 0 D" В" , (6.8)
Ко B'D'J \д"0 0 /
где А', В', D' получаются умножением матриц А, В, D слева на
5л?7?(Л9),
а А", В", D" - на Sh}R(hs). Аналогично для других атомов.
Ненулевые
столбцы матриц дают атомные компоненты базисных функций. Поскольку
представление 0 входит в состав магнитного представления три раза, мы
имеем три независимых столбца. Возьмем ненулевые столбцы - первый, пятый
и шестой. Обозначим их совокупность для i -го атома через Ф/, тогда на
основании выражений (6.7) и (6.8) получаем для первой трой-
44
ки атомов орбиты:
*i =
Фа =
(6.9)
Точно так же следует вычислить Ф* для оставшихся девяти атомов орбиты.
Окончательный результат можно записать в виде табл. 2.8.
Теперь ясно, что магнитная структура, записанная в виде соотношений
,(6.4), получается комбинацией базисных функций г)0 и г|0 с равными
коэффициентами смешивания:
Tio(ccc) + t'io(c'cc'), (6.10)
при условии с = - 2с'.
ГЛАВА 3
ИЗМЕНЕНИЕ СИММЕТРИИ ПРИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ
§ 7. ИЗМЕНЕНИЕ ТРАНСЛЯЦИОННОЙ СИММЕТРИИ
Зона Бриллюэна и симметричные точки в ней. Спонтанное понижение симметрии
кристалла при фазовом переходе происходит как за счет уменьшения числа
поворотных элементов симметрии, так и за счет сокращения некоторых
трансляций. Последнее приводит к тому, что в прореженной сетке трансляций
исходной фазы возникает в общем случае другой тип решетки,
характеризующей диссимметричную фазу. Задачу о полном изменении симметрии
можно решать в два этапа, сначала рассматривая изменение только
трансляционной симметрии. Чисто в теоретическом аспекте задача состоит в
перечислении всех типов решеток, которые могут получиться из данной
решетки в результате какого-либо фазового перехода, и выяснений, как эти
решетки диссимметричной фазы вложены в решетку исходной фазы. В
экспериментальном аспекте проблема состоит в нахождении решетки
диссимметричной фазы путем какого-либо структурного исследования
средствами рентгеноструктурного анализа, нейтронографии и т.д.
Сопоставление решеток диссимметричной и исходной фаз позволяет выявить
звезду волнового вектора, характеризующую неприводимое представление, по
которому происходит фазовый переход.
Целью этого параграфа является установление связи между звездой волнового
вектора и решеткой диссимметричной фазы. До изложения постановки этой
задачи целесообразно напомнить основные понятия о прямой и обратной
решетках кристалла.
Каждая кристаллическая решетка однозначно задается тремя кратчайшими
трансляциями fj, Т2> *з. Для того чтобы наиболее полно отразить симметрию
решетки кристалла, вводят понятие ячейки Браве, форма которой должна
отвечать точечной симметрии кристалла. При выборе ячейки Браве стремятся
к тому, чтобы число прямых углов было максимальным, а ее объем -
минимальным. Наряду с ячейкой Браве используют также понятие примитивной
ячейки, построенной на трех кратчайших трансляциях кристалла tx, t2, t3.
На рис. 3.1 в качестве примера приводится соотношение примитивной ячейки
и ячейки Браве для ГЦК кристаллов.
Пользуясь соотношениями (2.1), для каждой ячейки Браве можно построить
соответствующую ячейку в обратном пространстве, которая называется
ячейкой Вигнера - Зейтца. Ее ребра образуются основными векторами blt b2,
Ь3 обратной решетки. Однако более удобным для физических приложений
оказалось понятие зоны Бриллюэна. Процедура построения Воны Бриллюэна
сводится к следующим действиям. Соединим выбранный узел обратной решетки
с ближайшими узлами. Через середины этих отрез-
46 ^
Рис. 3.1. Примитивная ячейка и ячейка Браве ГЦК решетки.
Рис. 3.2.Зоны Бриллюэна для ромбоэдрической решетки для с/а'
(а) и с/а < 1 Isf? (61; Г = (ООО), F = (00Й), Т = (ЙЙО),
?= 04 й И).
ков проводим перпендикулярные им плоскости. Если эти плоскости образуют
выпуклый многогранник, то мы получаем зону Бриллюэна. В противном случае
соединяем выбранный узел обратной решетки со следующими ближайшими узлами
и снова через середины полученных отрезков проводим перпендикулярные им
плоскости.
Очевидно, что окончательный результат, т.е. вид зоны Бриллюэна, зависит в
конечном итоге от соотношений параметров ячейки Браве. Так, например, для
ромбоэдрической решетки вид зоны Бриллюэна зависит от 'соотношения высоты
с ячейки Браве и длины ребра основания а. Для случая с/а > 1 /у/Тзона
Бриллюэна изображена на рис. 3.2, а, а для случая с/а < < 1 1>/Г- на рис.
3.2, б. На рис. 3.3- 3.5 изображены зоны Бриллюэна для кубических
решеток. Для остальных решеток аналогичное описание зон Бриллюэна можно
найти в книгах [1,2].
Используя симметрию обратной решетки, можно расклассифицировать все
точки, принадлежащие зоне Бриллюэна. Особую роль в физике твердого тела
играют так называемые симметричные или лифшицевские точки. Ими называются
такие точки зоны Бриллюэна, которые имеют выделенную симметрию, т.е.
некоторый набор элементов симметрии, оставляющих данную точку на месте
