- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь статические решения уравнений. (VI.5,6) в случае сферической симметрии. Метрика сфериче-. ски симметричного пространства была приведена в § 11. Там же мы определили набор допустимых компонент тензора кручения. Беклером [262] было найдено решение уравнений (VI. 5, Q} в этом случае при условии
QlOl = Qooi = —Q303= —Q202= Q212 = —Фзіз= Ф (/") •
Выпишем эти решения. После интеграции (VI.5, 6) найдем Ф (А) =
га( 1 — 2a/r + Ага/4/2)
1/2
где a — постоянная интегрирования, а ,компоненты метрики имеют вид
ехр Я (/•) = ( 1 —2аIr+kr2j Al2).
Найденное решение описывает пространство Ut постоянной кривизны с R =—Zkjl2, метрика которого есть метрика Шварц-' шильда—де Ситтера. Таким образам, можно сказать, что эта
111- теория эквивалентна TeopfHW Эйнштейна с космологическим членом A—3fe/4/2. "Ньютрйовский потенциал
является запирающим, что можно использовать в теории элементарных частиц [146]. Он совпадает с потенциалом ОТО, если h = 0.
Нестатические космологические решения исследовались Ky-диным и Минкевичем [263, 264]. В однородной изотропной космологии, заполненной «идеальной жидкостью, с метрикой
Cfs2 = dt2 — R2 (t) (—+ Л/26 + гг sin2 Qd2ц> } I 1 —kr- J
и кручением
Q'io=Q220 = Q3SO = <7I(0. Qiaa=Qasi = Qau= = <72 (О R5 (І) г2 (1—?r2) VS sin 0
показано, что при выполнении условий
2/, + 4/3 + /4+/5=0, 2/1—/2=0, ?2(0=0
существуют предельная плотность материи и регулярное по метрике решение.
Таким образом, видно, что модели с динамическим круче-' нием приводят к интересным классическим решениям.
Рассмотрим эти модели с квантовой точки зрения. В отсутствие кручения модели с квадратичными лагранжианами оказались, как мы уже отмечали, ренормируемыми, хотя и не унитарными. Причина их перенормируемоеш, по-видимому, кроется в меньшей степени расходимости пропагатора метрики по сравнению с теориями, включающими в себя только производные первого порядка. Действительно, сравним, например, расходимости одной етлевых диаграмм, которым отвечают (Z)2(P2)J2 и [-D4(P2)J2, где первый пропагатор подчиняется уравнению второго порядка, а второй — четвертого. Очевидно, что в первом случае расходимость будет логарифмической, во втором ее не будет вообще в ультрафиолетовой области.
Приведем простой пример скалярного поля в плоском пространстве-времени. Пусть скалярное поле подчиняется уравнению - ^
Обычный скалярный пропагатор в импульсном представлении будет
A(P2)=-Ti-HT-
р% — т1.
Скалярное поле имеет одну степень свободы и описывает в данном случае частицы одного сорта —скаляроны массы т.
111- Пусть теперь скалярное поле подчиняется уравнению
— {(дцд»)2+ад^ + с) ф = О, lb
которое выводится из действия
5 = -L- j #х {{d^dytf)2 — а (5дф)2 + сер2}.
Нетрудно убедиться, что, если b = т\ — т2, a = Iti2l + т2 и с = = m2/n2, уравнение, которому подчиняется пропагатор скалярного поля, будет
1
т% — mr
{д^ - т2} {ovav + m2} D4 (X, у) = O (X, г/).
Г,2 '"I
Соответственно этому D4 (р2) можно представить в виде D4 (-°2) = -TTT--Г~—Г = (Р2) - z^1' И •
. р2 + Г«2 P2 — ГП] ^ -
Такая теория содержит два сорта скалярных частиц —массы Zn1 и мнимой массы im2.
Изучим структуру расходимостей в этих двух примерах.
ехр(—tp(<—у)) _
P2 — ms
D.
(х-у)=(2п)~* JdV'
X
2я2 j+Kjc-
тг(х — у)г ,
1
¦у In I — /П2(Х — у)
X
16
/?г
1 і ."Чх-У) ( 5
4 8 I 2
На световом конусе х-+у этот пропагатор расходится квадратично и логарифмически. В то же время пропагатор
D4 (х-у)= D2C^ [х-у)- D2*-.) (X - у)
будет расходиться только логарифмически, так как с учетом" выражения для D2(х — у)
Di (х-у)= DJ™» (X - у) - D2^ (х-у)--=
— I'»!
2я2 1 2
In
-mUx-yf + ... X
-т-
Jc+ -L In /и2 (х-,/)2 + X
а в случае Vil = In2 будет вообще свободен от расходимостей.
Таким образом, теории с высшими производными обладают лучшей сходимостью в ультрафиолетовой области (или на малых расстояниях).7 Однако в пропагаторе четвертого порядка, являющимся разностью двух пропагаторов второго порядка,
8 Зав. 496
из один соответствует' физической частице, а второй описывает тахион (анализ тахионов см. у Я. П. Терлецкого, Э. Реками и др. [28.1]). В теориях с производными более высоких порядков, например для
(д^д* — tnf) (dvoy - пф (дад« - ml) Ф = О,
будет два физических состояния и одно тахионное.
Значительно более сложная картина наблюдается, если поле ф является тензорным или векторным. Кроме частиц различной массы в такой теории будут присутствовать еще и частицы различных спинов и спиральности. Эта проблема еще более усложняется в теории гравитации с кручением присутствием двух тензорных полей: тензорного поля второго ранга— метрики—и тензорного поля третьего ранга — кручения. Изучение этой проблемы важно для квантовой теории и правильного выбора калибровочных условий с целью исключения из рассмотрения нефизических степеней свободы.
Наличие ,нефизических степеней свободы, вероятно, является неотъемлемым свойством калибровочных теорий. В качестве простейшего примера можно привести электродинамику, которая описывается вектор-потенциалом /4„, имеющим четыре компоненты; на самом деле физических степеней свободы только две. Аналогично имеет десять компонент, по только две из них динамические.
