- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
¦ Расслоение тензоров. Могут быть образованы различные тензорные произведения касательных и кокасательных рас-
т п
слоений ((g) T (X))(g> ((g) T (X)) над многообразием X "Это расслоения л-ковариантных и m-контравариантных тензоров.
Римановы и псевдоримановы пространства. Пусть Bh — пространство невырожденных симметричных ¦ билинейных форм индекса k в пространстве Rn. Оно изоморфно фактор-пространству GL(n, R)[0(n—k, k). Рассмотрим расслоение %ви на пространства Bk, ассоциированное с касательным расслоением T(X) над многообразием Xn. Его сечение g определяет в касательном пространстве Ty, х^Х, симметричную невырожденную билинейную форму g(x)(t, t'), t,t'<=Tx, индекса к. Многообразие Xn с заданным на нем глобальным сечением g расслоения }.В1< называется псевдоримановым пространством индекса к, a g — псевдоримановой метрикой на А'". Если k = О, то говорят о римановом пространстве.
Многообразие X« может допускать не всякую псевдорима-нову структуру. Необходимым и достаточным условием ее существования, т. е. существования глобального сечения соответствующего расслоения Хвк или фактор-расслоения hin„, Я)/0(п-А, h) является редукция структурной группы GL(n, R) касательного расслоения T(X) к подгруппе О (п — к, к) (см. Редукция структурной группы). При этом существует такой атлас Vg касательного расслоения, в котором билинейная форма g(x) принимает вид псевдоевклидовой билинейной фор-¦мы г) индекса к во всех точках хєХ.
Многообразие всегда допускает риманову структуру, поскольку структурная группа GL(n, R) касательного расслоения над ним всегда редуцирована к своей максимальной компактной подгруппе О (л).
Если многообразие ориентируемо, то структурная группа его касательного расслоения сводится к группе GL+(n, R).
Риманова метрика g(x) служит нормой в касательных пространствах. Она задает структуру метрического пространства на многообразии X. Топология, определяемая этой метрикой, совпадает с топологией многообразия.
Связность на расслоении. Введение структуры связности на расслоении X= (Q, л, X) необходимо для описания параллельного переноса слоев расслоения вдоль некоторого пути в базе. Связность определяется сопоставлением всякому пути т ([а, Ь]) в базе X семейства отображений Kt(s,,Ss) , S1, s2e [а, Ъ], слоев Vt(S1)-^Vt(Sj) над точками этого пути. Естественны требования:
124- Kx(SuS1) Непрерывно по-Sb S2 и iHє зависит от. параметризации пути;
Kx(SljS2) K%is2,s3) =Kx(SuSs) ; ^t(SllS2) = K^(IltSl) ' Kx(S1S) =IdFt(S).
Отображения Kx(a,s), se[d, b], называются параллельным переносом слоя Va вдоль пути т.
Связность называется плоской, если для любых точек х, л/ из базы X отображение Kx не^зависит от пути х, их соединяющего.
Пусть V — некоторая точка слоя 1/т(а), тогда множество образов u(s) точки V при параллельном переносе вдоль пути т образует некоторый путь хк = [К^а, a)(f)} в тотальном пространстве- Q, и л(гк)=х. Путь хк называется накрывающим путь т в базе X. Такие же пути, накрывающие т, выходят из каждой точки слоя Va-
На дифференцируемом расслоении связность может быть определена в инфинитезимальной форме заданием для каждой точки q<^Q пространства направлений, в которых она переносится в Q, если я(q) переносится в тех или иных направлениях в X.
Пусть на расслоении X = (V, G, X) задана связность. Для каждой точки хєі рассмотрим множество {тх} всех замкнутых путей в X с началом и концом в точке х. іогда множество отображений [Kxx) слоя Vx, порождаемых параллельными переносами вдоль путей хх, образуют некоторую группу изоморфизмов-слоя Vx, которая называется группой голономии Kx данной связности в точке хєі. Подгруппа Kx0 группы Kx, соответствующая путям, стягиваемым в точку ж, называется ограниченной группой голономии.
Для связной базы X группы голономии Kx и Kx0 в различных точках изоморфны, и можно говорить об абстрактной группе голономии К данной связности на расслоении, которой изоморфны все группы К. Тогда справедливы следующие утверждения.
Ограниченная группа голономии K0 есть связная подгруппа Ли структурной группы G и инвариантная подгруппа в К, а факторгруппа K1K0 счетна.
Если на расслоении задана связность, группой голономии которой является К, то структурная группа G расслоения редуцирована к подгруппе К. В частности, отсюда. следует, что, если расслоение допускает плоскую связность, оно тривиально.
Пусть L(F)—линейное подпространство в алгебре Ли
натянутое на все значения формы кривизны F-it, t'), ^Tx, связности в некоторой точке х^Х. Тогда L(F) изоморфно алгебре Ли @ группы голономии K0. - • '
Связность на главном расслоении. Пусть Xq — главное расслоение со структурной группой Ли G. Выделим в касатель-
125- Ном пространстве Tp к тотальному пространству UXg в точке р вертикальное подпространство Tp", касательное к слою, проходящему через р. Связность на Xg определяется выделением в каждом Tp такого подпространства Tph, что:
6)^ = ^(?)^; ' '
в) Tph зависит дифференцируемо от р.
Tph называется горизонтальным подпространством Tv и является пространством тех направлений, по которым осуществляется перенос р. Всякий вектор t^Tp однозначно записывается как t = tv+th, где tv^Tpv, thf=Tp <.
