Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся теперь к задаче о построении в общей теории относительности модели двух тел, массы которых 11. Отрицательная масса в общей теории относительности 313
имеют противоположный знак. В соответствии с изложенным мы используем равномерно ускоренную систему отсчета и затем поместим в нее два конечных тела с массами противоположного знака. В равномерно ускоренной системе отсчета эта система будет обладать аксиальной симметрией, и поэтому мы можем использовать [4] метрику Вейля и Леви-Чивиты. Для этой метрики в пустом пространстве мы имеем
ds2 = e2<f> dl2 - e~2<f> [е2а (dr2 + dz2) + г2 de2], (1) где ф = ф(г, г) и G = o(r,z) удовлетворяют уравнениям
= 27 дф дф ^ ^
dz dr dz
[Оператор, фигурирующий в уравнении (2), будем обозначать через V2.] Как известно, для этой метрики имеется некоторое условие совместности [4]. Здесь для наших целей целесообразно записать это условие в форме, несколько отличной от той, в которой оно обычно применяется.
Для любого замкнутого контура С, целиком расположенного в пустом пространстве (хотя, возможно, и охватывающего область, где присутствует материя), из уравнений (3) и (4), используя теорему Грина, имеем
с с
+ 27^^^)=2 ^ I-VVdrdz, (5)
где интеграл берется по части меридиональной плоскости, ограниченной контуром С. Здесь мы принимаем, что во всей области метрика имеет вид (1), хотя она не обязательно должна удовлетворять уравнениям (2)-(4), 314
Г. Бонди
В действительности метрика (1) не является самой общей метрикой для статической аксиально симметричной области, содержащей материю, но она является достаточно общей для той модели, которую мы хотим построить. Легко показать, что
-X6 = - KT00 = е2 [ -2V2(p + V2<r --=?=- +
+Ш+Ш]' W
- KP11 = - кТ\ = кТ\ = кр22 =
[нн?)чт<7>
- ирзз = - =
[""-НИЮЧЮ*] • (•>
= (9)
12 дг dz г dz w
Характер ограничений, которые влечет за собой использование метрики (1), ясно проявляется в уравнении (7). Условие, чтобы T12 было конечным на оси, означает, что (T = Const при г = 0. Без ограничения общности можно положить (T = O при г = 0. Если мы предположим, что на линии г = 0 материя отсутствует, то это условие также вытекает из соотношения (5).
Теперь мы можем построить ньютоновский аналог нашей системы, в которой г, г, O представляют собой цилиндрические полярные координаты, а ф — гравитационный потенциал (в гравитационных единицах). В пустом пространстве ф удовлетворяет уравнению Лапласа (2). Кроме того, пока ф — малая величина, из уравнений (3) и (4) следует, что о есть малая величина второго порядка. Тогда уравнение (6) с точностью до величин второго порядка совпадает с уравнением Пуассона, в то время как уравнения (7)-(9) показывают, что натяжения малы по сравнению С плотностью- 11. Отрицательная масса в общей теории относительности 315
Смысл условия совместности (5) теперь ясен: оно означает, что г-компонента гравитационной силы на поверхности любого тела, окруженного пустым пространством, должна обращаться в нуль. Так как остальные компоненты равны нулю в силу симметрии, условие (5) является просто ньютоновским условием равновесия. Теперь ф можно рассматривать как точный ньютоновский потенциал ньютоновского аналога нашей системы, хотя плотность ньютоновской системы не будет в точности совпадать с плотностью релятивистской системы.
В силу линейности уравнения Лапласа, мы можем, конечно, воспользоваться принципом суперпозиции решений. В частности, если имеется два тела [т. е. две отдельные области, в которых не выполняется уравнение (2)], то два соответствующих решения могут быть суперпонированы при условии, что соотношение (5) выполняется для каждого тела в отдельности. Приведем теперь несколько теорем из ньютоновской теории тяготения.
1. Если ф —> 0 при г —> оо и V29 = О всюду, за исключением отдельной конечной замкнутой области, то условие (5) выполняется.
2. Если ф —> О при г —> оо и V^ = О всюду, за исключением некоторой конечной замкнутой области, которая целиком лежит внутри области z<a и в которой У2ф>0, то Зф/02>0 для всех г>а.
3. Если ф —> О при г—> ос и У2ф = О всюду, за исключением двух конечных областей, одна из которых целиком лежит в области г < а, а другая — в области z > а, и в каждой из которых V29 не меняет знака, то в этом случае условие (5) не может быть выполнено. Этот важный результат следует из теорем «1» и «2». Если ф разбить на две части, Ф! и ф2, так что фг удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме области, занимаемой телом 1, и ф2 —всюду, кроме области, занимаемой телом 2, то условие (5) для тела 1 требует, чтобы
Первый член обращается в нуль в силу теоремы «1»; второй же член вследствие теоремы «2» ЦЄ может быть 316
Г. Бонди
равным нулю. Эта теорема показывает, что в общей теории относительности не существует статического решения задачи двух тел, если каждое из этих тел состоит из материи одного знака, если тела расположены по противоположным сторонам от поверхности Z = const и если метрика на бесконечности совпадает с метрикой Минковского. Теперь мы покажем, что если отбросить последнее условие, то такое решение окажется возможным.
